(Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen

14.09.2013, 09:53	laienstefan	Auf diesen Beitrag antworten »
(Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen Hallo, ich habe immense Schwierigkeiten dabei, mir vorzustellen, wie Funktionen mit mehreren Variablen aussehen. Also seien das so einfache Dinge wie f(x,y)=xy oder schwierigere wie x^2+y^2+z^2 oder sogar xyz. die Formeln für Kreis und Kegel usw. lernt man wohl am besten auswendig, aber wieso versagt mir jedes Funktionsplot-Programm z.B. eine Ansicht von xyz? Das sollte doch dreidimensional sein und damit darstellbar, oder? Kurz und knapp - ich habe keine Ahnung, wie ich einer solchen Funktion ansehe, was sie dyrstellt. Gibt es da ein elementares Vorgehen?
14.09.2013, 10:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen Bei einer Funktion $\begin{eqnarray} f\colon(x,y,z)\mapsto xyz \end{eqnarray}$ hast du drei Variablen und eine zusätzliche Dimension im Bildbereich. Wenn du also den Graphen $\begin{eqnarray} \Bigl\{\bigl(x,y,z,f(x,y,z)\bigr)\in{\color{red}\mathbb R^4} : (x,y,z)\in\mathbb R^3\Bigr\} \end{eqnarray}$ zeichnen möchtest, kriegst du ein Problem. Du kannst bestenfalls Niveau-Ebenen plotten lassen oder eine der Variablen abhängig von den anderen machen.
14.09.2013, 10:28	laienstefan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen Hmm, ich hatte mir das fälschlicherweise so vorgestellt, dass das eben ein Punkt im Raum ist mit den Koordinaten x,y und z. Aber jetzt wo du es sagst - so einen Punkt gibt es wohl (hieße dann wohl Argument), aber dem wird noch ein Funktionswert zugeordnet - ich gebe mich geschlagen. Dann bleiben wir mal im Dreidimensionalen: Wie sehe ich einer von zwei Variablen abhängigen Funktion wie z.B. f(x,y)=xy an, wie Sie aussieht? Das wäre ein Fläche (also wieder ein Punkt in der x-y-Ebene, dem jeweils eine z-Koordinate zugeordnet wird, richtig?), aber wie verläuft sie?
14.09.2013, 10:37	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen Ich glaube nicht, dass es da ein allgemeines Verfahren gibt. Am besten gibst du $\begin{eqnarray} xy \end{eqnarray}$ einfach bei WolframAlpha ein Der Graph bzw. die Fläche $\begin{eqnarray} \Bigl\{(x,y,xy)\in\mathbb R^3:x,y\in\mathbb R\Bigr\} \end{eqnarray}$ hat aber z.B. die Eigenschaft, dass man durch jeden Punkt auf der Fläche zwei Geraden legen kann, die vollständig in der Fläche enthalten sind: $\begin{eqnarray} (x_0+\lambda x,y_0,x_0y_0+\lambda xy_0)=(x_0,y_0,x_0y_0)+\lambda(x,0,xy_0) \end{eqnarray}$ und analog in die andere Richtung. Diese zwei Geraden teilen die Fläche dann in vier Teilstücke. In Richtung zweier dieser Teilstücke "steigt" die Fläche; in den anderen "fällt" sie. Außerdem liegen die Hyperbeln, die durch $\begin{eqnarray} z_0=xy \end{eqnarray}$ gegeben sind, auf der Fläche. Ein Normalenvektor am Punkt $\begin{eqnarray} (x,y,xy) \end{eqnarray}$ ist durch $\begin{eqnarray} (-y,-x,1) \end{eqnarray}$ gegeben. Vielleicht kannst du dir damit schon eine Vorstellung machen.
14.09.2013, 23:34	laienstefan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen Danke, das macht schonmal viel Sinn. Ich bringe mal ein Beispiel von dem Aufgabentyp, der mir immer noch Schwierigkeiten bereitet: Die Funktion heißt $\begin{eqnarray} x^2+y^2-z^2 <= 1 \end{eqnarray}$ Ich hätte jetzt folgendermaßen argumentiert: $\begin{eqnarray} x^2+y^2 <= z^2 \end{eqnarray}$ ist ein Kegel. Stelle ich den o.g. Ausdruck um, erhalte ich $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 <= z^2 + 1 \end{eqnarray}$ Demzufolge wäre der erste Ausdruck ebenfalls ein Kegel, der letztgenannte wäre nur ein schmalerer Kegel (weil ja x, y und z nicht einfach über Pythagoras verbunden sind, sondern x^2 + y^2 noch größer sind als z^2). Leider sieht das Teil aber ganz anders aus, nennt sich wohl Hyperboloid... Da wäre ich nie drauf gekommen.
15.09.2013, 09:12	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen Für festes $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist das Gebilde im Querschnitt ein Kreis. Der Radius ist $\begin{eqnarray} \sqrt{z^2+1} \end{eqnarray}$ , was etwa so aussieht (nur gedreht): Du kannst dich auch mal über Kegelschnitte informieren.
Anzeige

15.09.2013, 09:19	laienstefan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen Ich verstehe nur nicht, was an meiner Argumentation falsch ist. Nach der hätte das Gebilde, wie du sagst, den Radius $\begin{eqnarray} \sqrt {z^2+1} \end{eqnarray}$ . Für mich sieht das also aus wie die Kegelgleichung, nur dass der Radius nie kleiner als 1 wird. Das wäre dann ein auf dem Kopf stehender Kegelstumpf.
15.09.2013, 09:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Plots von) mehrdimensionale(n) Funktionen Wenn die Eins nicht wäre, kämst du auf $\begin{eqnarray} \sqrt{z^2}=\lvert z\rvert \end{eqnarray}$ : kommst du aber auf [plot=-5:5]sqrt(x^2+1),-sqrt(x^2+1)')+'&x=-5:5]abs(x)&y=-abs(x)[/plot"'); Das musst du wieder rotieren und den Zwischenraum ausfüllen. Bei einem Kegel verändert sich der Querschnitssradius linear, was hier nicht der Fall ist, da $\begin{eqnarray} \sqrt{z^2+1} \end{eqnarray}$ nicht linear in $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »