Wahrscheinlichkeitsdichte - Wert einer Konstanten bestimmen

14.09.2013, 13:39

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlichkeitsdichte - Wert einer Konstanten bestimmen

Hallo zusammen,

ich habe hier wieder eine Aufgabe, bei der ich ein wenig hänge.

Eine Zufallsvariable X habe folgende Wahrscheinlichkeitsdichte:

f(x) = c*x^2 für 0<x<1
0 sonst

a) Berechnen Sie den Wert der Konstante
b) bestimmen Sie den Erwartungswert von X

Speziell verstehe ich a) nicht.
Wie kann ich das angehen? Ich dachte immer eine Konstante einer Wahrscheinlichkeitsdichte sei immer 0, da die Wahrscheinlichkeit für eine Konstante nie vorkommen kann.

14.09.2013, 13:43

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeitsdichte - Wert einer Konstanten bestimmen
Du meinst die Wahrscheinlichkeit einer Konstanten bzw. die Wahrscheinlichkeit, mit der eine stetig verteilte Zufallsgröße genau einen bestimmten Wert annimmt.
Du sollst allerdings den Wert von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ berechnen. Und zwar so, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ tatsächlich eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

14.09.2013, 13:52

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich verstanden, danke dir!
Aber wie gehe ich das mit dem c jetzt an? Leider habe ich absolut keine Idee.
Sitze war seid Stunde mit einem Buch zu diesem Thema hier rum und lese, kann die Aufgabe leider trotzdem nicht lösen.

14.09.2013, 13:53

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein soll, welche Bedingungen müssen dann definitionsgemäß erfüllt sein?

14.09.2013, 14:00

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

0<X<1 ist ja gegeben.
Die Bedingung ist das f(x) > 0 sein soll und die Gesamtfläche unter der Kurve muss = 1 sein.

Muss ich dann das Integral von

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(cx^{2} ) \, dx = \frac{1}{3} cx^{3} \end{eqnarray*}$

mit den Grenze 0 bis 1 lösen.
Rechnet man das aus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{c}{3} \end{eqnarray*}$

raus.
Wenn ich das jetzt = 1 setze, kommt c=3 heraus.

Ist das so korrekt?

14.09.2013, 14:09

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shizophren
0<X<1 ist ja gegeben.

Das spielt hier keine Rolle (ung gilt ja "nur" fast sicher).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! f(cx^{2} ) \, dx = \frac{1}{3} cx^{3} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite ist falsch und das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Integranden erst recht.

Zitat:

Wenn ich das jetzt = 1 setze, kommt c=3 heraus.

Richtig.

Anzeige

14.09.2013, 14:18

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit dem x?

Leider habe ich keinen "Stammfunktions-Strich" gefunden, darum nur das 1/3cx^3 geschrieben. Dahinter würden noch der Strich mit den Grenzen kommen und dann eingesetzt würde es c/3 ergeben.

Das das f da nicht rein gehört, weiß ich, ich komme nur mit diesem Editor hier nicht ganz klar.

Also ist die Lösung der Aufgabe c = 3?

War soweit die Überlegung korrekt?

14.09.2013, 14:27

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shizophren
Dahinter würden noch der Strich mit den Grenzen kommen und dann eingesetzt würde es c/3 ergeben.

Ah ja, damit wäre es richtig.

Zitat:

War soweit die Überlegung korrekt?

Ja, Lösung und Überlegung stimmen.

14.09.2013, 14:33

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Aufgabe b war ja, den Erwartungswert zu bestimmen.
Das habe ich so gelöst. Es wäre nett, wenn du das bestätigen könntest smile

smile

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! 3x^{2} \, dx = \frac{3x^{3} }{3} \end{eqnarray*}$ mit den Grenzen 0 bis 1

ausgerechnet ergibt das den Erwartungswert = 1

Wäre das korrekt?

14.09.2013, 15:09

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du nur die Wahrscheinlichkeitsdichte integriert. Da kommt natürlich Eins heraus.
Aber du hast schon selbst gesagt, dass die Zufallsvariable (fast sicher) Werte zwischen Null und Eins annimmt. Da ist es schwer für den Erwartungswert, genau Eins zu sein.

14.09.2013, 15:58

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast recht, das kann ich nachvollziehen.
Wie komme ich denn dann auf den Erwartungswert?

14.09.2013, 16:02

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist er denn definiert?

14.09.2013, 16:08

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Laut meinem Buch ist der Erwartungswert = der Mittelwert.
Und bei stetigen Daten wäre die Formel

(also der Editor ist grauenhaft, wie krieg ich denn in eine Integralgrenze -unendlich gebaut?

Jedenfalls ist die Formel dort:

Das Integral von -unendlich bis unendlich xf(x)dx

Deshalb habe ich eben auch das 3cx^2 integriert.

14.09.2013, 16:15

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shizophren
(also der Editor ist grauenhaft, wie krieg ich denn in eine Integralgrenze -unendlich gebaut?

Einfach geschweifte Klammern um die untere Grenze setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

\int_{-\infty}^\infty xf(x)\dx

Zitat:

Deshalb habe ich eben auch das 3cx^2 integriert.

Das $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist jetzt überflüssig. Du integrierst aber sowieso nur $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} xf(x) \end{eqnarray*}$ , wie es die Definition verlangen würde.

14.09.2013, 16:23

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah die {} Klammern :-)

Über das xf(x) wunder ich mich auch die ganze Zeit schon.

Was ist denn das x bei xf(x)?

In meinem Buch Beispiel, wird das x vor f einfach irgendwie nicht beachtet.

In dem Beispiel war bei der Dichtefunktion f(x) schon 1/360.

14.09.2013, 16:28

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist die Integrationsvariable. Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac1{360} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} xf(x)=\frac x{360} \end{eqnarray*}$ , wie es ja auch im Bild zu sehen ist.

14.09.2013, 16:35

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, wäre das in meinem Fall dann für x^2 das x die Integrationsvariable ist also müsste ich demnach x*x^2 = x^3 für die Grenzen 0 bis 1 integrieren für den Erwartungswert?

Das wäre dann 1/4

14.09.2013, 16:38

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du vergisst den Vorfaktor $\begin{eqnarray*} c=3 \end{eqnarray*}$ . Aber ja, was das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu bedeuten hat, hast du anscheinend verstanden. Zur Sicherheit: Im Ausdruck $\begin{eqnarray*} xf(x) \end{eqnarray*}$ schreibst du das auf, was $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist und multiplizierst das zusätzlich nochmal mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} f(x)=x^n \end{eqnarray*}$ wird also $\begin{eqnarray*} xf(x)=x^{n+1} \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} f(x)=\mathrm e^x \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} xf(x)=x\mathrm e^x \end{eqnarray*}$ .

14.09.2013, 16:44

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen dank.

Also wenn ich den Vorfaktor 3 mit berücksichtige habe ich dann

xf(x) = x*3x^2 = 3x^3

Wenn ich dies dann integriere bekomm ich 3/4 als Erwartungswert raus :-)

Korrekt soweit? smile

smile

14.09.2013, 16:46

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so stimmt es.

14.09.2013, 16:49

Shizophren

Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar

Gott

Jetzt habe ich es verstanden.
Ich denke dir für deine Mühe! Hat mir sehr geholfen!

smile

smile

Wünsch dir noch einen schönen Abend!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »