Uneigentliches Integral

Neue Frage »

14.09.2013, 16:42	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Integral Meine Frage: Hey Leute, ich habe folgende Aufgabe: Existieren die folgenden uneigentlichen Integrale? Bestimmen Sie wenn möglich deren Wert: a) $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! \frac{1}{x(x-1)^{2} } \, dx \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! \frac{1}{\sqrt{x^2-1} } \, dx \end{eqnarray}$ Mein Problem besteht darin, dass ich oft keine geeignete Majorante/Minorante finden kann. Darum wäre es nett, wenn jemand überprüfen würde, ob das so geht, was ich mir überlegt habe. zu a) $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ ist absolut konvergent, wenn $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! \|f(x)\| \, dx \end{eqnarray}$ existiert/konvergent ist. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! \frac{1}{x(x-1)^{2} } \, dx \end{eqnarray}$ konvergent ist, betrachten wir eine absolut konvergente Majorante $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|f(x)\| \leq g(x) \end{eqnarray}$ Ich habe mir überlegt, als Majorante $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2+1} \end{eqnarray}$ zu nehmen, weil das ja integriert der arctan(x) wäre. Kann ich das einfach so machen? und zu b) Da dachte ich, nehme ich $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{x^2}}= \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ als Minorante und zeige, dass sie divergiert. Somit würde dann auch $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! \frac{1}{\sqrt{x^2-1} } \, dx \end{eqnarray}$ divergent sein. Meine Ideen:
14.09.2013, 17:24	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Deine Überlegung zu a) ist richtig. Du musst aber ja hier sowieso den Wert berechnen. Das zeigt die Konvergenz dann gleich mit. b) passt auch so.
14.09.2013, 17:25	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort Hab den Wert auch berechnet, also kommt das alles hin mit der Konvergenz ^^
14.09.2013, 17:57	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Huch, bin irgendwie davon ausgegangen, dass ich den Wert von arctan(x) berechnen muss, aber ich muss ja den Wert von a) ausrechnen..
14.09.2013, 18:27	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry, editieren ging irgendwie nicht. Aber ich komme irgendwie bei a) immer auf den Wert -ln(2), wenn ich es selber rechne. Wenn ich es aber mit dem Rechner mache, dann sagt der -(ln(2)-1) Ich habe es mit der Partialbruchzerlegung versucht. Die Nullstellen des Nenners wären bei 1 und 0, also habe ich geschrieben: $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x} \, dx = \int_2^\infty \! \frac{1}{x-1} + \frac{-1}{x} \, dx =\left[ ln(\|x-1\|)-ln(\|x\|)\right]_{2}^{\infty} \end{eqnarray}$
14.09.2013, 18:34	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist denn $\begin{eqnarray} \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x} = \frac{1}{x(x-1)^2} \end{eqnarray}$ ? Einfach mal auf einen Hauptnenner bringen und überprüfen.
Anzeige

14.09.2013, 18:47	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das ist nicht dasselbe. Dann müsste ich das in $\begin{eqnarray} \int_2^\infty \! \frac{1}{x} + \frac{1}{(x-1)^2} \, dx \end{eqnarray}$ zerlegen, da kann ich 1/x integrieren und das wäre ln(lxl), aber was ist mit dem zweiten Summanden? Edit: Ach nee.. $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} + \frac{1}{(x-1)^2} \end{eqnarray}$ stimmt ja auch nicht..
14.09.2013, 18:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest dir die Partialbruchzerlegung wohl nochmal ansehen Damit es weiter geht: Versuche es mit dem Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} \end{eqnarray}$
14.09.2013, 19:10	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoo, jaa Nullstelle 1 mit Vielfachheit 2. Beim Koeffizientenvergleich ist A=0, B=0, C=0 Achne, hab mich verschrieben, muss nochmal nachrechnen
14.09.2013, 19:11	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, eigentlich nicht
14.09.2013, 19:19	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
A=1 B= 1/2 C = 3/2 Edit: Achso jetzt sehe ich meinen Fehler -.- A=1 B=-1 C=1
14.09.2013, 19:28	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Damit sollte sich das Integral ja nun berechnen lassen.
14.09.2013, 19:31	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} = ln(\|x\|)-ln(\|x-1\|)+ln(\|(x-1)^2\|) \end{eqnarray}$ Vielen Dank
14.09.2013, 19:39	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Die ersten Teile stimmen. Wie kommst du auf den letzten? (Du kannst übrigens den Betrag weglassen. x ist ohnehin positiv.
14.09.2013, 19:45	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte, ich kann einfach substituieren.. Aber habe auch gerade an meinem Ergebnis gemerkt, dass das nicht stimmt. Der letzte Teil wäre dann $\begin{eqnarray} \frac{-1}{x-1} \end{eqnarray}$
14.09.2013, 19:49	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja

Neue Frage »

Antworten »

Uneigentliches Integral

Verwandte Themen