Grenzwert Quotient aufeinanderfolgender Glieder -> Aussage n-te Wurzel

14.09.2013, 19:40

Jioia

Grenzwert Quotient aufeinanderfolgender Glieder -> Aussage n-te Wurzel

Meine Frage:
Hallo, ich möchte folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } = S >0 => \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_{n} } = S \end{eqnarray*}$
Außerdem gilt: a_n>0 für alle n.

Meine Ideen:
Ich würde folgenderma0en argumentieren:
Ab einem hinreichend großem n kann angenommen werden:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =S <=> a_{n} =\frac{a_{n+1} }{S} \end{eqnarray*}$
Weiter gilt ab hinreichend großem n dann doch auch folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_{n} } =\sqrt[n]{a_{n+1} } \sqrt[n]{\frac{1}{S} } \end{eqnarray*}$
Da alle a_n und S größer 0 sollte nun ein potenzieren mit n möglich sein. Danach kann
man die Gleichung durch eine einfache Umstellung in die gesuchte Form bringen.

Kann ich das so machen?

14.09.2013, 19:51

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

Ab einem hinreichend großem n kann angenommen werden: $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =S \end{eqnarray*}$

Du kannst es gerne annehmen, das ändert nichts daran, dass es falsch ist.
Einfaches Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} a_n=n+1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Danach kann man die Gleichung durch eine einfache Umstellung in die gesuchte Form bringen.

Keine Ahnung wie das gehen soll.

P.S. \Leftrightarrow

14.09.2013, 21:55

Jioia

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert Quotient aufeinanderfolgender Glieder -> Aussage n-te Wurzel
Ich verstehe nicht, wieso das dies falsch ist. Die Annahme ist doch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } = S >0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet doch gerade, das dies ab hinreichend großem n gilt, oder?

14.09.2013, 22:55

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich übernehme mal für watcher, solange er nicht da ist.

Zitat:

Das bedeutet doch gerade, das dies ab hinreichend großem n gilt, oder?

Nein. watcher hat dir doch schon ein Gegenbeispiel genannt.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+1} = 1 \end{eqnarray*}$ . Aber zeige mir das (meinetwegen hinreichend große) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , für das $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n+1} = 1 \Leftrightarrow n+2=n+1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Um dich mal auf die richtige Spur zu führen. Hattet ihr schon den folgenden Satz:

Sei $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge positiver reeller Zahlen mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^nb_k} = b \end{eqnarray*}$ ?
Das bedeutet, dass die Folge der geometrischen Mittel der Folge ebenfalls konvergiert undzwar gegen den gleichen Grenzwert.

Falls nicht, hattet ihr diese Aussage für die arithmetischen Mittel bereits? (Daraus kann man die Aussage für die geometrischen Mittel schnell herleiten).

15.09.2013, 09:28

Jioia

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja das mit dem Gegenbeispiel stimmt, ich hab da gestern etwas vorschnell reagiert weil ich so überzeugt davon war verwirrt

Leider hatten wir weder eine Aussage zum geometrischen noch zum arithmetischen Mittel in Sachen Grenzwert :/

15.09.2013, 10:35

Jioia

Auf diesen Beitrag antworten »

So, also ich hab mich etwas informiert und die Beweis zu den beiden Sätzen hinbekommen. Ich würd jetzt gern versuchen damit den eigentlich Satz zu beweisen.
Also, wieder gleiche Voraussetzung wie Anfangs, mit dem Satz von Gruppi12

Also erstmal sollte doch folgendes gelten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1} }{a_{n} } = S = \lim_{n \to \infty }\sqrt[n ]{\prod\limits_{k=1}^n \frac{a_{k+1} }{a_{k} } } \end{eqnarray*}$

In dem Produkt kürzen sich aber alle Faktoren raus, bis auf den letzten Zähler und ersten Nenner. Bzw.: $\begin{eqnarray*} {\prod\limits_{k=1}^n \frac{a_{k+1} }{a_{k} } } = \frac{a_{n} }{a_{1} } \end{eqnarray*}$
Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1} }{a_{n} } = S = \lim_{n \to \infty }\sqrt[n ]{\prod\limits_{k=1}^n \frac{a_{k+1} }{a_{k} } } = \lim_{n \to \infty }\sqrt[n ]{ \frac{a_{n} }{a_{1} } } \end{eqnarray*}$

Da a_1 Konstant ist, ist die n-te Wurzel daraus 1. Also bleibt lediglich die n-te Wurzel aus a_n. Womit die Behauptung bewiesen wäre.

15.09.2013, 10:56

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gedankengang ist wohl richtig in der Ausformulierung sind Fehler:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} {\prod\limits_{k=1}^n \frac{a_{k+1} }{a_{k} } } = \frac{a_{n} }{a_{1} } \end{eqnarray*}$

Statt n muss es n+1 heißen.

Zitat:

Da a_1 Konstant ist, ist die n-te Wurzel daraus 1.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2}=1 \end{eqnarray*}$ da 2 konstant?
Hier fehlt wohl irgendwas mit Limes.

15.09.2013, 11:29

jioia

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann versuch ich es mal besser zu formalisieren:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{1 }{a_{1} } } = 1 \end{eqnarray*}$

Also gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{a_{n+1} }{a_{1} } }=\lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_{n+1} } * \sqrt[n]{\frac{1}{a_{1} } } = \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_{n+1} } = S \end{eqnarray*}$

15.09.2013, 11:33

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

So passts.

15.09.2013, 12:18

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde übrigens raten, den Grenzwertbegriff zu wiederholen. Du scheinst "ist gleich" und "geht gegen" kaum auseinanderhalten zu können.

15.09.2013, 20:17

Jioia

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
Ich würde übrigens raten, den Grenzwertbegriff zu wiederholen. Du scheinst "ist gleich" und "geht gegen" kaum auseinanderhalten zu können.

Ja da hast du nicht unrecht, deshalb mach ich diese Aufgaben gerade.
Was meinst du mit dem Unterschied zwischen "ist gleich" und "geht gegen"?
Könntest du den Unterschied evtl. an einem kurzem Beispiel demonstrieren.

15.09.2013, 20:27

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du schreibst zum Beispiel, dass aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=S \end{eqnarray*}$ folge, dass für ein genügend großes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ tatsächlich die Gleichheit $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n}=S \end{eqnarray*}$ gilt. Dabei geht der linke Ausdruck aber nur im Grenzwert $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen die rechte Seite; diese behauptete Gleichheit muss aber niemals gelten (dazu hast du ja schon ein Gegenbeispiel).
Und danach schreibst du wieder $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_1}=1 \end{eqnarray*}$ , obwohl diese Wurzel wieder nur für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen Eins geht, aber für $\begin{eqnarray*} a_1\neq1 \end{eqnarray*}$ niemals wirklich Eins ist.

Anschaulich ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_1} \end{eqnarray*}$ für ein genügend großes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ "beliebig nahe" an Eins, aber
a) muss die Gleichheit nicht für ein endliches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eintreten und
b) ist das nur eine Veranschaulichung, die noch keinen mathematischen Sinn hat.

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert Quotient aufeinanderfolgender Glieder -> Aussage n-te Wurzel

Verwandte Themen