Differentialgleichung, Probleme mit der Störfunktion

14.09.2013, 23:41

Mario1234

Differentialgleichung, Probleme mit der Störfunktion

$\begin{eqnarray*} y''+y'-2y = cos(2*x)+sin(3*x) \end{eqnarray*}$

Bei dieser Funktion sollte ich doch eigentlich die Lösungsansätze

g1(x)=A*sin(2x)+B*cos(2x)

und

g2(x)=C*sin(3x)+D*cos(3x)

nehmen können, diese dann einzeln Ableiten, Einsetzen, Auflösen und hätte doch dann meine Lösung oder?

Maple spuckt mir jetzt aber diesen Monsterterm aus:

$\begin{eqnarray*} y(x) = C_2e^{-2x} +C_1e^{x} - \frac{6}{65}cos(x)^3+\frac{1}{260}(-88sin(x)-78)cos(x)^2+\frac{1}{260}(26sin(x)+18)*cos(x)+\frac{11}{130}*sin(x)+\frac{3}{20} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen wie das zu Stande komm?

Edit(Helferlein): Latexcode verbessert, um Überbreite des Beitrags zu verhindern.

15.09.2013, 08:45

Kasen75

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RE: Differentialgleichung , Probleme mit der Störfunktion

Zitat:

Original von Mario1234
Bei dieser Funktion sollte ich doch eigentlich die Lösungsansätze

g1(x)=A*sin(2x)+B*cos(2x)

und

g2(x)=C*sin(3x)+D*cos(3x)

nehmen können, diese dann einzeln Ableiten, Einsetzen, Auflösen und hätte doch dann meine Lösung oder?

Genau. $\begin{eqnarray*} y''+y'-2y=g_1(x)+g_2(x) \end{eqnarray*}$

Wie aber Maple zu dieser Lösung kommt kann ich dir auch nicht sagen.

Ich habe mal für x=10° die Lösungen von Wolfram Alpha und Maple ausrechnen lassen.

Lösung von Maple
Lösung von Wolfram Alpha

Beide Ergebnisse sind nicht identisch. Bei der Lösung von Maple kann ich nicht wirklich weiterhelfen.

Grüße.

15.09.2013, 09:45

Che Netzer

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Maple benutzt
$\begin{align*} \sin(2x)&=2\sin x\cos x\,,\\\cos(2x)&=2\cos^2x-1\,,\\\sin(3x)&=4\sin x\cos^2x-\sin x\quad\text{und}\\\cos(3x)&=4\cos^3x-3\cos x\,. \end{align*}$
Damit stimmen beide Lösungen ein.

@Kasen75: In deinem Link zur WolframAlpha-Lösungen hast du drei Cosinus-Terme. Der erste davon sollte ein Sinus sein.

15.09.2013, 09:49

Kasen75

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Zitat:

Original von Che Netzer

@Kasen75: In deinem Link zur WolframAlpha-Lösungen hast du drei Cosinus-Terme. Der erste davon sollte ein Sinus sein.

Du hast ja so recht.

15.09.2013, 12:55

Mario1234

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Ok, aber was ist jetzt die richtige Lösung? Wäre es richtig g1(x) + g2(x) getrennt zu behandeln und am Ende vier Ergebnisse zu haben?

15.09.2013, 14:01

Kasen75

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@Mario1234

Du kannst die beiden Lösungen von $\begin{eqnarray*} y''+y'-2y=g_1(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y''+y'-2y=g_2(x) \end{eqnarray*}$ berechnen und diese dann addieren.

Ich habe es aber gleich die Lösung von $\begin{eqnarray*} y''+y'-2y=g_1(x)+g_2(x) \end{eqnarray*}$ berechnet.

Du hast aber am Ende nur EINE partikuläre Lösung (Ergebnis).

16.09.2013, 00:15

Mario1234

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$\begin{eqnarray*} y(x)=exp(x)*_C2+exp(-2*x)*_C1-(3/130)*cos(3*x)-(11/130)*sin(3*x)-(3/20)*cos(2*x)+(1/20)*sin(2*x) \end{eqnarray*}$

Ja gut dann wäre aber doch dann das hier mein Ergebnis oder?

16.09.2013, 00:48

Kasen75

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Zitat:

Original von Mario1234
$\begin{eqnarray*} y(x)=exp(x)*C_2+exp(-2*x)*C_1-(3/130)*cos(3*x)<br /> <br /> -(11/130)*sin(3*x)-(3/20)*cos(2*x)+(1/20)*sin(2*x) \end{eqnarray*}$

Ja gut dann wäre aber doch dann das hier mein Ergebnis oder?

Ja.

Ich habe mal die Indizes der Konstanten tiefgestellt und einen Zeilenumbruch gemacht.

16.09.2013, 13:44

HAL 9000

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Was die Gleichheit/Ungleichheit trigonometrischer Terme angeht, sollte man nicht vorschnell urteilen, man denke nur mal an den "Klassiker" der partiellen Integration

$\begin{eqnarray*} \int \sin(x)\cos(x) ~ \dx = \frac{1}{2}\sin^2(x) + C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \sin(x)\cos(x) ~ \dx = -\frac{1}{2}\cos^2(x) + C_2 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Gleichheit weist man wie üblich durch algebraische Umformungen nach, hier dann unter Zuhilfenahme diverser Additionstheoreme.

Ungleichheit ist einfacher nachzuweisen: Einfach einen konkreten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert angeben, wo sich beide Terme unterscheiden.

Ich stimme aber zu, dass angesichts der Struktur der vorgegebenen Störfunktion die von Maple angegebene Darstellung mit Potenzen von $\begin{eqnarray*} \sin(x),\cos(x) \end{eqnarray*}$ etwas unglücklich aussieht, ich würde hier auch eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \sin(2x),\cos(2x),\sin(3x),\cos(3x) \end{eqnarray*}$ vorziehen. Aber solche CAS verirren sich mitunter in fachlich richtige, aber ästhetisch weniger gelungene Darstellungen. Gibt also für deren Programmierer immer noch zu tun, wenn solche Meckerköpfe wie ich auch sowas noch monieren. Big Laugh

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