Injektiv, surjektiv bei Bruch nachweisen

15.09.2013, 10:59

Vorzeichenkrieger

Injektiv, surjektiv bei Bruch nachweisen

Meine Frage:
Hi, wir hatten folgende Aufgabe und ich habe grade ehrlich gesagt garkeine Ahnung wie ich da ansetze:
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} <br /> f(x)= \frac{2x+1}{x-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \neq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} <br /> x=1 \end{eqnarray*}$

Wir sollen auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität untersuchen. An sich fällt mir inejtivität nachweisen nicht so schwer, in dem Fall aber komm ich garnicht klar.

Meine Ideen:
Ich dachte erst ich fange mit ner Fallunterscheidung an und schaue was passiert, wenn ich f(x1)=f(x2) mit x1=1 untersuche, da komm ich aber schon auf x2= 0 oder -1/2, bin aber alles andere als überzeugt, dass ich da alles richtig gemacht habe, und weitere Ideen fehlen mir auch.

Surjektivität find ich allgemein schon schwerer, in dem Fall wirds nicht soviel besser.

PS: Wie krieg ich Abschnittsweise definierte Funktionen in LaTeX hin?

15.09.2013, 11:07

watcher

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} \frac{2x+1}{x-1} \text{ für } x \neq 1 \\ 0 \text{ für } x=1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Mouse-over zeigt den Code.

Die Abb. ist nicht injektiv, da zwei Werte auf 0 abgebildet werden (du hast 3, eine davon ist falsch.)

Zur Surjektivität:
Was bedeutet es denn hier dass y ein Urbild x haben? Kann man das x berechnen?

15.09.2013, 11:08

Iorek

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code:
1:	f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto\begin{cases} f_1(x), & x<0 \\ f_2(x), & x=0 \\ f_3(x), & x>0\end{cases}

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto\begin{cases} f_1(x), & x<0 \\ f_2(x), & x=0 \\ f_3(x), & x>0\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du bei der Injektivitiät auf $\begin{eqnarray*} x_2=0 \end{eqnarray*}$ ? Du hast ja $\begin{eqnarray*} f(1)=0 \end{eqnarray*}$ , da du auch $\begin{eqnarray*} f(-\frac 12)=0 \end{eqnarray*}$ berechnet hast, kannst du damit doch eigentlich schon alles nötige zur Injektivität sagen. Für die Surjektivität solltest du auf die Definition zurückgreifen und dir nochmal die Bedeutung des Urbildes ansehen.

Edit: Ich ziehe mich zurück. smile

15.09.2013, 11:56

Vorzeichenkrieger

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Ah, sry, x2=0 ist natürlich falsch, ich meinte für x2=1 ist f(x2)=0, also die triviale Lösung =)
Und wenn f(-1/2) stimmt bin ich doch nicht so doof, wie ich mich grade fühle, das muntert schonmal auf, dankeschön.
Surjektivität ging dann auch nach ner Weile, beim Brüche umstellen macht sichs nur doch bemerkbar, dass ich Abi am Computer geschrieben hab :|
Zur Kontrolle: ich hab $\begin{eqnarray*} x= \frac{-y-1}{y-2} \end{eqnarray*}$ raus, da gibts ne Lücke bei y=2 und damit ist sie auch nicht Surjektiv, richtig?

15.09.2013, 12:01

watcher

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Zitat:

ich hab $\begin{eqnarray*} x= \frac{-y-1}{y-2} \end{eqnarray*}$ raus,

Das zeigt, dass jedes $\begin{eqnarray*} y \neq 2 \end{eqnarray*}$ ein Urbild hat.
Das zeigt noch nicht, dass 2 kein Urbild hat, das geht aber relativ schnell z.B. mit einem Widerspruchasbeweis.

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