Geometrisches Mittel komplexer Zahlen

15.09.2013, 16:17

barthcar

Geometrisches Mittel komplexer Zahlen

Liebe Forenmitglieder,

bei der Implementierung der sogenannten Nah- zu Fernfeldtransformation in Simulationen zum numerischen Elektromagnetismus bin ich auf das Problem gestoßen, das geometrische Mittel zweier komplexer Zahlen berechnen zu müssen. Ich habe dazu nun viel gelesen und werde nicht ganz schlau daraus.

Zu berechnen sei also das geometrische Mittel zweier komplexer Zahlen a und b. In einem Buch zu meinem Thema heißt es, man solle auf die Auswahl des korrekten Quadranten achten, wenn also die Phasen der beiden komplexen Zahlen nahe $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ liegen, so sollte auch das Ergebnis nahe $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ liegen, nicht etwa nahe Null. Wie kann man so etwas numerisch implementieren?

Bei meiner Suche bin ich darauf gestoßen, dass in Wolfram Mathematica eine Funktion namens ArithmeticGeometricMean implementiert ist. Siehe hier. Danach kann man diese Funktion auch über das vollständige elliptische Integral erster Art definieren, aber auch dazu kann ich nicht finden, wie man es für komplexe Argumente berechnet.

Für jeden Hinweis wäre ich sehr dankbar.
Gruß

16.09.2013, 08:48

Steffen Bühler

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RE: Geometrisches Mittel komplexer Zahlen
Das Ganze läuft ja auf das Mitteln von zwei Winkeln raus. Zum Beispiel mitteln sich 130° und 170° "korrekt" zum Winkel 150° der "zwischen den beiden" liegt, während aber 10° und 330° sich zu 170° mitteln und nicht zu 350°.

Hier musst Du Dir also eine Möglichkeit überlegen, wie man den "richtigen" Winkel von beiden herausfindet. Hast Du eine Idee?

Viele Grüße
Steffen

16.09.2013, 14:41

barthcar

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RE: Geometrisches Mittel komplexer Zahlen
Lieber Steffen,

danke für deine Hilfe. Unterdessen habe ich in der Programmiersprache die ich nutze (Python) eine Implementierung der elliptischen Integrale gefunden und nutze daher nun erfolgreich die ArithmeticGeometricMean-Funktion, wie sie in Mathematica implementiert ist.

Trotzdem interessiert mich natürlich, was du mit deinem Denkanstoß genau meinst. In deiner Überlegung klinkt es so, als müsste man einfach (Winkel1 + Winkel2)/2 rechnen, aber so einfach kann es doch nicht sein, oder?

Gruß,
Carlo

16.09.2013, 14:59

Steffen Bühler

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RE: Geometrisches Mittel komplexer Zahlen
Doch, so einfach ist es, denn mit

$\begin{eqnarray*} z = r \cdot e^{i \cdot \varphi} \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{z_1 \cdot z_2} = \sqrt {r_1 \cdot r_2} \cdot e^{i \cdot \frac12 (\varphi_1 + \varphi_2)} \end{eqnarray*}$

Also das geometrische Mittel der Beträge und arithmetische Mittel der Winkel.

Nur ist das eben lediglich die Hauptlösung, die zweite ist 180° weitergedreht, wie immer, wenn die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl gezogen wird.

Welche nun die "richtige" Lösung ist, ist aber nicht schwer herauszufinden. Geometrisch muss der Winkel ja "zwischen" den beiden anderen liegen, Du musst also ein Kriterium haben, warum bei 10° und 330° die numerisch bestimmten 170° nun noch mal auf 350° gedreht werden.

Viele Grüße
Steffen

16.09.2013, 18:42

Che Netzer

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RE: Geometrisches Mittel komplexer Zahlen
Und was wäre "das" geometrische Mittel von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ? Teufel

17.09.2013, 08:48

Steffen Bühler

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RE: Geometrisches Mittel komplexer Zahlen
DIV0 Error. System halted.

Viele Grüße
Steffen

17.09.2013, 11:32

HAL 9000

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Des Stochastikers Antwort

Zitat:

Original von Che Netzer
Und was wäre "das" geometrische Mittel von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ? Teufel

Mit jeweils Wahrscheinlichkeit 1/2 ist das gleich $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ . Big Laugh

17.09.2013, 11:34

Steffen Bühler

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RE: Des Stochastikers Antwort
Hat jemand eine Katze da?

Viele Grüße
Steffen, mit dem Blödeln aufzuhören versprechend

17.09.2013, 11:52

HAL 9000

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Ja, mal ernsthafter: Bin ja begrifflich in Funktionentheorie nicht so bewandert, aber bei der Lösungsformulierung hier würde man eine Funktion benötigen, die einen Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ins Standardintervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ zwingt, also überkompliziert formuliert

$\begin{eqnarray*} \varphi \mapsto \frac{1}{i}\ln(\exp(i\varphi)) \end{eqnarray*}$

und "bodenständiger" dann

$\begin{eqnarray*} \varphi \mapsto \varphi + 2\pi\left\lfloor \frac{\pi-\varphi}{2\pi} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich diese Funktion mal $\begin{eqnarray*} \operatorname{stdarg} \end{eqnarray*}$ nenne, dann könnte man obiges Mittel als

$\begin{eqnarray*} \sqrt {r_1 \cdot r_2} \cdot e^{i \left( \varphi_1 + \frac{1}{2}\operatorname{stdarg}\left( \varphi_2-\varphi_1 \right) \right)} \end{eqnarray*}$

schreiben.

17.09.2013, 12:45

Steffen Bühler

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Es könnte vielleicht auch mit zwei komplexen Zahlen gleicher Länge und den jeweiligen Winkeln gehen, die man addiert. Der Summenzeiger sollte dann den richtigen Winkel haben.

Viele Grüße
Steffen

17.09.2013, 13:56

HAL 9000

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Ja, hatte ich auch dran gedacht, aber $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}\left( \exp(i\varphi_1) + \exp(i\varphi_2) \right) \end{eqnarray*}$ rangiert bei mir dann doch in die oben schon erwähnte Kategorie "überkompliziert formuliert". Augenzwinkern

17.09.2013, 14:01

Steffen Bühler

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Mathematisch in der Tat, aber für ein Python-Programm vielleicht weniger. Andererseits sollte Deine stdarg-Routine auch mit ein paar ifs und elses erledigt sein.

Mei, dass so ein visuell piepeinfach zu lösendes Problem so kompliziert zu rechnen ist...

17.09.2013, 17:17

barthcar

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Oh, das Thema hat ja doch rege Beteiligung erzeugt Augenzwinkern

Sorry, dass ich erst jetzt wieder mit von der Partie bin.

Die Einwürfe finde ich interessant. Ich bin schon sehr verwundert, warum es in Mathematica (ich unterstelle mal den Programmierern relative Kompetenz, ohne eine Diskussion entfachen zu wollen) eine eher komplizierte Funktion dafür gibt, obwohl das Problem ja einfach zu sein scheint. Sind denn die beiden Implementierungen, sprich: die hier vorgestellte und die über die elliptischen Integrale identisch? Zur Erinnerung, die Mathematica-Version ArithmeticGeometricMean ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} agm(a,b) = \frac{(a+b)\pi}{4K\left(\left[\frac{a-b}{a+b}\right]^2\right)} \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} K(z) \end{eqnarray*}$ das vollständige elliptische Integral erster Art ist.

Vielen Dank für die liebe Hilfe.

18.09.2013, 08:55

Huggy

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Zitat:

Original von barthcar
Sind denn die beiden Implementierungen, sprich: die hier vorgestellte und die über die elliptischen Integrale identisch? Zur Erinnerung, die Mathematica-Version ArithmeticGeometricMean ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} agm(a,b) = \frac{(a+b)\pi}{4K\left(\left[\frac{a-b}{a+b}\right]^2\right)} \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} K(z) \end{eqnarray*}$ das vollständige elliptische Integral erster Art ist.

Nein!

Das AGM ist überhaupt keine Lösung deines Problems. Für 2 komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} |( \operatorname {agm} \, (z_1,z_2))| \neq \sqrt {|z_1||z_2|} \end{eqnarray*}$

und im allgemeinen auch

$\begin{eqnarray*} \arg (\operatorname {agm} \, (z_1,z_2)) \neq \frac {\arg (z_1)+ \arg (z_2)}{2} \end{eqnarray*}$

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