Differentialgleichung

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15.09.2013, 17:37	BuLLz	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{2y} = \frac{dx}{x+1} \end{eqnarray}$ Ist es schlimm, wenn 2y dort steht? Habe etwas in Erinnerung, dass y alleine stehen muss?!
15.09.2013, 17:41	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht schlimm.
15.09.2013, 17:58	BuLLz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{2y} = \frac{dx}{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{dy}{2y} = \int \frac{dx}{x+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ln(\|y\|)}{2} = ln(y+1) + c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_h(x) = 2 (e^{x} + e) * K \end{eqnarray*}$
16.09.2013, 11:39	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{ln(\|y\|)}{2} = ln(\|\color{red}x\color{black}+1\|) + c \end{eqnarray}$ Bis dahin passt es, abgesehen von der Verwechslung von x und y. Nun bringe die 2 im Nenner nach rechts und verbaue es in den Logarithmus. Noch den Logarithmus auflösen und fertig. Beachte, dass su auf beiden Seiten den Logarithmus hast. So mit der e-Funktion rumzuspielen wie du das machst ist unnötig/falsch.
16.09.2013, 18:11	BuLLz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{ln(\|y\|)}{2} = ln(x+1\|) + C \end{eqnarray}$ Ich habe gerade die vier Rechengeln für Logarithmen vor mir. Wenn ich die 2 rüber bringe, dann ist es ja nur ein Vorfaktor und laut dem Gesetz wird dieser zum Exponenten. Dann würde ich es erstmal so schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{ln(\|y\|)}{2} =2ln(x+1\|) + 2C \end{eqnarray}$ nun mit dem Gesetz: $\begin{eqnarray} \frac{ln(\|y\|)}{2} =ln(\|x+1\|^2) + 2C \end{eqnarray}$ Jetzt e-Funktion zum Auflösen des Logarithmus: $\begin{eqnarray} y =(x+1)^2 + e^{2C} \end{eqnarray}$ und C als K schreiben: $\begin{eqnarray} y =(x+1)^2 + e^{2K} \end{eqnarray}$ Wenn es stimmen sollte, ist es aber mal ein ungewöhnliches Ergebnis. Sonst war es eigentlich immer so, dass die Konstante alleine stand. Im weiteren Verlauf wurde diese Konstante dann zur Funktion etc. Allerdings war es ja jetzt keine inhomogene DGL, und somit msste das jetzt mein Endergebnis sein, oder?
16.09.2013, 21:21	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wendest du die e-Funktion an, dann wird die ganze rechte Seite huckepack genommen! (Dass du teilweise noch links 1/2 stehen hast, was nicht hingehört, sei ignoriert. Offensichtlich ein Kopierfehler) $\begin{eqnarray} y = e^{ln\|x+1\|^2+2c} \end{eqnarray}$ Führe es von da an nochmals zu Ende unter Berücksichtigung der Potenzgesetze
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17.09.2013, 18:41	BuLLz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y = e^{ln\|x+1\|^2+2c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = e^{ln\|x+1\|^2} + e^{2c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \|x+1\|^2 + e^{2c} \end{eqnarray}$
17.09.2013, 20:33	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedenke das Potenzgesetz: $\begin{eqnarray} e^{a+b}=e^a \cdot e^b \end{eqnarray}$
17.09.2013, 21:52	BuLLz	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y = e^{ln\|x+1\|^2+2c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = e^{ln\|x+1\|^2} e^{2c} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \|x+1\|^2 * e^{2c} \end{eqnarray*}$
17.09.2013, 22:26	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun passt es. Den Betrag kannst du weglassen und $\begin{eqnarray} e^{2c} \end{eqnarray}$ würde ich zu $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ umbenennen. $\begin{eqnarray} y = d\cdot(x+1)^2 \end{eqnarray}$
17.09.2013, 23:39	BuLLz	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch meine entgültige Lösung oder muss ich aus dem "d" noch eine Funktion machen? Also ich konnte ja am Anfang die Variablen trennen. Also müsste es ja jetzt mein Endergebnis sein wo ich die Anfangsbedingungen einsetzen könnte oder?
18.09.2013, 08:09	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist fertig. d (normalerweise halt c, aber das hatten wir ja umbenannt) ist deine Konstante. Mit einer Anfangsbedingung kannst du diese spezifizieren .

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