Potenzreihe und Indexverschiebung

15.09.2013, 18:35

mathisfun

Potenzreihe und Indexverschiebung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
lerne gerade für die Prüfung und verstehe nicht ganz, warum es erlaubt ist, den Index so zu verschieben.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty(\sum\limits_{k=0}^{n-1} x_{k})z^{n} = \sum\limits_{n=0}^\infty(\sum\limits_{k=0}^n x_{k})z^{n+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Es geht um die zweite Summe. Warum gilt es, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} x_{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} x_{k} \end{eqnarray*}$
Wenn ich das für n=3 ausschreibe, ist das doch nicht gleich.
$\begin{eqnarray*} x_{0}+x_{1}+x_{2}=?x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3} \end{eqnarray*}$
In diesem Beispiel verstehe ich auch nicht, warum das gleich sein sollte.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^{k} \end{eqnarray*}$
Warum bleibt k=0?
Wäre dankbar, wenn mir jemand das erklären könnte.
LG

15.09.2013, 18:41

alterHund

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die Anzahl der Summanden bleibt gleich und damit auch die Exponenten die gleichen bleiben wird $\begin{eqnarray*} z^n~\text{zu~}z^{n+1} \end{eqnarray*}$

15.09.2013, 18:55

magic_hero

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RE: Potenzreihe und Indexverschiebung

Zitat:

Original von mathisfun
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty(\sum\limits_{k=0}^{n-1} x_{k})z^{n} = \sum\limits_{n=0}^\infty(\sum\limits_{k=0}^n x_{k})z^{n+1} \end{eqnarray*}$

Setze j:=n-1 und ersetze dann alle n auf der linken Seite. Am Ende benennst du j wieder in n um.

Zitat:

Original von mathisfun
Es geht um die zweite Summe. Warum gilt es, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n-1} x_{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} x_{k} \end{eqnarray*}$
Wenn ich das für n=3 ausschreibe, ist das doch nicht gleich.
$\begin{eqnarray*} x_{0}+x_{1}+x_{2}=?x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3} \end{eqnarray*}$

Das gilt auch nicht. Du musst den gesamten Ausdruck beachten, denn es wird ja über alle n summiert und nicht nur über n=3.

Zitat:

Original von mathisfun
In diesem Beispiel verstehe ich auch nicht, warum das gleich sein sollte.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty kx^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)x^{k} \end{eqnarray*}$
Warum bleibt k=0?

Na ja, auf der linken Seite verlierst (bzw. gewinnst) du nichts, wenn du die Summe ab k=1 laufen lässt, denn für k=0 steht da ja 0. Dann dasselbe wie oben, d.h. setze j:=k-1.

16.09.2013, 22:00

mathisfun

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Danke für die Antworten. Wie es mit dem Einsetzen von j:=n-1 genau funktioniert, habe ich leider nicht so gut verstanden. Ich glaube aber, ich weiß , wie man vom linken Ausdruck zum rechten kommt, nämlich so:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty(\sum\limits_{k=0}^{n-1} x_{k})z^{n}= \sum\limits_{n=1-1}^\infty(\sum\limits_{k=0}^{n-1+1} x_{k})z^{n+1} = \sum\limits_{n=0}^\infty(\sum\limits_{k=0}^n x_{k})z^{n+1} \end{eqnarray*}$ LG

17.09.2013, 11:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathisfun
Wie es mit dem Einsetzen von j:=n-1 genau funktioniert, habe ich leider nicht so gut verstanden.

Umgestellt bedeutet das ja $\begin{eqnarray*} n=j+1 \end{eqnarray*}$ , und nun ersetzt du stur und konsequent jedes Auftreten von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Formel durch $\begin{eqnarray*} j+1 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left( \sum\limits_{k=0}^{n-1} x_{k} \right) z^{n} = \sum\limits_{j+1=1}^\infty \left( \sum\limits_{k=0}^{j+1-1} x_{k} \right) z^{j+1} \end{eqnarray*}$

Den Start $\begin{eqnarray*} j+1=1 \end{eqnarray*}$ schreibt man natürlich besser umgestellt als $\begin{eqnarray*} j=0 \end{eqnarray*}$ , während sich der obere Index $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bei dieser Verschiebung nicht ändert. Es geht also weiter mit

$\begin{eqnarray*} \ldots = \sum\limits_{j=0}^\infty \left( \sum\limits_{k=0}^{j} x_{k} \right) z^{j+1} \end{eqnarray*}$ .

Nun tauscht man Symbol $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ wieder durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus, denn letztlich ist es ja gleichgültig, wie man Summationsindizes benennt - solange diese Benennung nicht mit anderen bereits vorbelegten Symbolen kollidiert.

Solange man sich auf dem Gebiet der Indexverschiebung unsicher fühlt, empfehle ich genau wie magic_hero diesen "zweistufigen" Weg, d.h. über diese "Zwischenbezeichnung" $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ . Sollte das Verständnis dessen erleichtern, was da inhaltlich abläuft.

P.S.: Bei endlichen oberen Summenindex $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ würde übrigens aus $\begin{eqnarray*} \sum_{n=a}^b \ldots = \sum_{j+1=a}^b \ldots = \sum_{j=a-1}^{b-1} \ldots \end{eqnarray*}$ , das wäre noch anzumerken, denn es handelt sich ja bei der mittleren Summe wörtlich um "die Summe von $\begin{eqnarray*} j+1=a \end{eqnarray*}$ bis zur oberen Grenze $\begin{eqnarray*} j+1=b \end{eqnarray*}$ ", was bei der Umstellung berücksichtigt werden muss!

17.09.2013, 21:01

mathisfun

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Vielen Dank für die gute Erklärung!

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