Identitätssatz auf Riemannscher Zahlensphäre

16.09.2013, 13:39

12345678

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Identitätssatz auf Riemannscher Zahlensphäre

Meine Frage:
Hallo!
Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass sich bspw. der Identitätssatz auf die
Riemannsche Zahlensphäre übertragen lässt.
Schließe ich so also richtig:
Sei f eine analytische, nichtkonstante Funktion, die auf der oberen Halbebene und dem Punkt Unendlich definiert ist. Sei w im Bild von f.
Dann ist das Urbild von w unter f beschränkt, da es sich sonst um einen Häufungspunkt bei Unendlich halten würde.
Und daraus folgt doch dann sogar, dass das Urbild endlich ist,
da ich es ja in eine kompakte Menge packen kann und es ja falls es unendlich wäre dann einen Häufungspunkt hätte.

Meine Ideen:
Zunächst dachte ich mit dem komplexen Sinus ein Gegenbesipiel gefunden zu haben, aber das ist ja Quatsch, weil der Sinus in Unendlich nicht stetig definiert werden kann. Die Ansätze stehen oben mit dabei.

16.09.2013, 17:09

Che Netzer

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RE: Identitätssatz auf Riemannscher Zahlensphäre

Zitat:

Original von 12345678
auf der oberen Halbebene und dem Punkt Unendlich

Das ist keine offene Menge.

16.09.2013, 17:25

12345678

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Hm, Mist, stimmt..
Führt der Ansatz mit dem Identitätssatz trotzdem weiter, wenn ich zeigen will, dass für eine holomorphe Abbildung
von der oberen Halbebene auf ein Polynom (möglicherweise unendlich groß, also mit einer Ecke im Unendlichen)
gilt, dass für jeden Punkt w aus dem Polynom, das Urbild beschränkt ist? (Also außer falls
$\begin{eqnarray*} f(\infty) = w \end{eqnarray*}$ .

16.09.2013, 17:45

Che Netzer

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Auf ein Polynom? Meinst du ein Polygon? D.h. auf das Innere eines Polygons?
Ganz allgemein geht das natürlich nicht, da ja z.B. die Exponentialfunktion periodisch ist. Was möchtest du denn noch fordern? Dass $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to\infty}f(z)=:w \end{eqnarray*}$ existiert?
Dann weißt du schonmal, dass das Urbild eines jeden Punktes außer $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

16.09.2013, 18:00

12345678

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Hammer

Ja ein Polygon meinte ich smile

smile

Ja genau, stimmt, das fordere ich noch.
Hm, ja jetzt weiß ich also dass Urbild jedes Punktes beschränkt ist, außer wenn Unendlich auf den Punkt abgebildet wird. Kann ein Urbild eigentlich noch beschränkt sein, wenn Unendlich drin liegt?
Also zählt Unendlich als ein einziger Punkt, kann ein Urbild das Unendlich beinhaltet also sogar endlich sein?
Also unbeschränkt aber endlich?
Und für den Fall, dass ich ein Urbild von $\begin{eqnarray*} v \neq w \end{eqnarray*}$ betrachte, folgt dann ja, dass das Urbild endlich ist,
weil auf einer hinreichend großen abgeschlossenen oberen Halbkreisscheibe hat es ja einen Häufungspunkt,
dieser kann nicht auf der reellen Achse liegen, da diese auf den Rand des Polygons abgebildet werden soll (hätte ich wahrsch. gleich dazuschreiben sollen) und wenn der Halbkreis groß genug ist, liegt der HP auch nicht auf dem Kreisbogen.
Also im Inneren, also wäre die Funktion konstant, im Widerspruch zur Annahme, also gibt es doch nur endlich viele
Urbildpunkte?

16.09.2013, 18:09

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
hätte ich wahrsch. gleich dazuschreiben sollen

Ja, das wäre hilfreich gewesen. Der Rest klingt damit sinnvoll.

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16.09.2013, 18:23

12345678

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Kann ich so sogar zeigen, dass für |z| hinreichend groß eine Konstante K existiert, so dass |f(z)-w| < K?
Angenommen dass nicht, dann gibt es eine Folge $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ außerhalb einer entsprechend großen abgeschlossenen oberen Halbkreisscheibe, sodass $\begin{eqnarray*} f(z_n) \end{eqnarray*}$ gegen w konvergiert. Da die Folge beschränkt ist, da unendlich nicht im Urbild von w liegt, hat $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} z_{n_m} \end{eqnarray*}$ die gegen eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Somit folgt aus Stetigkeitsgründen, dass
$\begin{eqnarray*} f(z_0) = w \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch ist, da
da |z| (also insbesondere $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ) größer sein soll, als alle Urbilder von w?

16.09.2013, 18:25

Che Netzer

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Was ist denn jetzt $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

16.09.2013, 18:29

12345678

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äh genau, ich muss echt mehr drauf achten mal alles richtig hinzuschreiben:
also w soll irgendein Punkt aus dem Polynom sein, in dessen Urbild nicht Unendlich ist.

16.09.2013, 18:32

Che Netzer

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Ah. Ich war auch etwas verwirrt, da ich oben $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to\infty}f(z)=:w \end{eqnarray*}$ gesetzt hatte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jedenfalls ist $\begin{eqnarray*} \lvert f(z)-w\rvert\leq\lvert f(z)\rvert+\lvert w\rvert \end{eqnarray*}$ für große Beträge $\begin{eqnarray*} \lvert z\rvert \end{eqnarray*}$ ohnehin beschränkt, da $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z\to\infty \end{eqnarray*}$ konvergiert.

16.09.2013, 18:39

12345678

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Ja meine Notation war nicht so glücklich smile

smile

Ah ok, super, ja das ist eleganter

Diese Einschränkung, dass man $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{|z| \rightarrow \infty} f(z)= w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ fordern muss, kommt mir aber gerade ziemlich stark vor, vermutlich täusche ich mich da:
Aber folgt daraus nicht schon, dass die ganze Funktion beschränkt ist?
Weil ab einer gewissen Größe von z ist sie ja kleiner als bspw. $\begin{eqnarray*} |w| + \epsilon \end{eqnarray*}$ , und den Rest kann man ja
sozusagen als kompakte Menge als beschränkt ansehen, oder?
Und dann könnte ich ja gar keine unendlich großen Polygone treffen?

16.09.2013, 18:47

Che Netzer

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Die Inversion $\begin{eqnarray*} \frac1z \end{eqnarray*}$ ist auf der oberen Halbebene auch nicht beschränkt.
Wenn du aber die stetige Fortsetzbarkeit auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ forderst, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sogar genau dann beschränkt, wenn der Grenzwert im Unendlichen existiert (Riemannscher Hebbarkeitssatz nennt sich das glaube ich).

Unendlich große Polynome mitsamt Rand (inkusive Unendlich) sind aber durchaus kompakt.

Du scheinst $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ immer noch eine große Sonderrolle zu geben. Sieh Unendlich einfach als ganz normalen Punkt auf $\begin{eqnarray*} \hat{\mathbb C} \end{eqnarray*}$ an.

16.09.2013, 19:05

12345678

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Was bedeutet dass der Grenzwert existiert? Darf er unendlich sein? Und Grenzwert im Unendlichen bedeutet, dass
er überall gleich sein muss, egal in welche Richtung z gegen unendlich geht?

Kann ich mir ein unendlich großes Polygon mit Rand vorstellen, wie ein Land auf der Erdkugel, dessen Grenze durch den Nordpol verläuft?
Und kompakt ist dann einfach bezüglich der Teilraumtopologie im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gemeint?

Zitat:

Du scheinst $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ immer noch eine große Sonderrolle zu geben. Sieh Unendlich einfach als ganz normalen Punkt auf $\begin{eqnarray*} \hat{\mathbb C} \end{eqnarray*}$ an.

Ok, werde ich versuchen, verwirrt mich noch ein bisschen, das Rechnen mit Unendlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ smile

smile

Edit: Ich merk grad das meine ersten Fragen wahrscheinlich blöd waren, wenn ich unendlich wie einen normalen Punkt behandeln soll.
Dann muss natürlich der Grenzwert von allen Seiten gleich sein denke ich.

16.09.2013, 19:19

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
Was bedeutet dass der Grenzwert existiert? Darf er unendlich sein?

In diesem Fall tatsächlich nicht. Sobald man von Beschränktheit redet, hat Unendlich doch wieder diese gewisse Sonderrolle Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings ist einem die Beschränktheit eigentlich egal, wenn man auf $\begin{eqnarray*} \hat{\mathbb C} \end{eqnarray*}$ arbeitet.

Zitat:

Und Grenzwert im Unendlichen bedeutet, dass er überall gleich sein muss, egal in welche Richtung z gegen unendlich geht?

Was denn sonst?

Zitat:

Kann ich mir ein unendlich großes Polygon mit Rand vorstellen, wie ein Land auf der Erdkugel, dessen Grenze durch den Nordpol verläuft?
Und kompakt ist dann einfach bezüglich der Teilraumtopologie im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gemeint?

Ja, einfach ein Polygon auf der Sphäre. Und ja, deren Standardtopologie wird durch die Standardtopologie des Raumes erzeugt. (man kann sich auch die Topologie durch zwei stereographische Projektionen von der Ebene "klauen")

16.09.2013, 22:07

12345678

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Hm, aber das bedeutet doch, dass das vorige Argument, wieso für ein $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ im Polygon
$\begin{eqnarray*} |f(z) - v| > K \end{eqnarray*}$ gilt, für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ groß genug für jedes unbeschränkte Polygon fehlschlägt, da wir da ja auf keinen Fall
annhemen können, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

16.09.2013, 22:16

Che Netzer

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Mit " $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ " geht es doch gerade für unbeschränkte Bilder.

So langsam habe ich aber keine Ahnung mehr, worum es dir überhaupt geht und ob du nun die Beschränktheit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ fordern möchtest, sie zulässt oder sie ausschließen möchtest.

16.09.2013, 22:56

12345678

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Oje, sorry, heute bringe ich so ziemlich alles durcheinander, hab vorhin Quatsch geschrieben, als ich
|f(z)-w| < K geschrieben habe.
Ich versuch jetzt nochmal den Quatsch wieder zu ordnen:

Also: Mein Ziel ist es eigentlich für eine holomorphe Abbildung f von der oberen Halbebene auf ein Polygon -
wobei die Abbildung stetig auf die reellen Zahlen fortsetzbar ist und diese dann auf den Rand des Polygons abgebildet werden- zu zeigen, dass für ein v, dass entweder im Inneren oder Äußeren des Polygons liegt folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{[0,\pi]} \frac{1}{f(re^{it})-v} < K \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(re^{it})-v > K \end{eqnarray*}$ , wobei r groß ist.

Wenn ich das bisher richtig verstanden habe muss ich jetzt zwei Fälle unterscheiden:

Fall 1: Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .

In diesem Fall geht die Argumentation so: Das Urbild ist beschränkt. Wegen dem Identitätssatz sogar endlich (siehe vorher). Dann betrachte ich (weil ich das vorhin verwechselt habe, hat das wohl auch überhaupt nicht gepasst, was ich vorher dazu geschrieben habe, aber vllt ist es jetzt richtig:

Zitat:

Kann ich so sogar zeigen, dass für |z| hinreichend groß eine Konstante K existiert, so dass |f(z)-w| > K? (Kleinerzeichen verbessert zum Größerzeichen)
Angenommen dass nicht, dann gibt es eine Folge $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ außerhalb einer entsprechend großen abgeschlossenen oberen Halbkreisscheibe, sodass $\begin{eqnarray*} f(z_n) \end{eqnarray*}$ gegen w konvergiert. Da die Folge beschränkt ist, da unendlich nicht im Urbild von w liegt, hat $\begin{eqnarray*} z_n \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} z_{n_m} \end{eqnarray*}$ die gegen eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Somit folgt aus Stetigkeitsgründen, dass
$\begin{eqnarray*} f(z_0) = w \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch ist, da
da |z| (also insbesondere $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ) größer sein soll, als alle Urbilder von w?

So und Fall 2: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty } f(z) = \infty \end{eqnarray*}$

In diesem Fall gilt die Ungleichung für große z natürlich auch.

Und Fall 3, bei dem weiß ich allerdings nicht, ob er Sinn macht:
Kann es sein, dass weder $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty } f(z) = \infty \end{eqnarray*}$
noch
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$
eintreten, der Grenzwert also beispielsweise hin-und-herspringt, je nachdem wie man nach Unendlich geht?

Und wie das jetzt mit den Polygonen zusammenhängt ist mir noch nicht klar:

Beschränkte Polygone entsprechen nach

Zitat:

Wenn du aber die stetige Fortsetzbarkeit auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ forderst, dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sogar genau dann beschränkt, wenn der Grenzwert im Unendlichen existiert (Riemannscher Hebbarkeitssatz nennt sich das glaube ich).

genau Fall 1.

Unbeschränkte Polygone im Umkehrschluss genau Fall 2, falls es Fall 3 nicht gibt.

Falls dieser Zusammenhang zwischen Polygonen und Fällen richtig ist:
Wieso gibt es keine Abbildungen auf unbeschränkte Polynome, bei denen beispielsweise Fall 1 gegeben ist, also
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , aber dafür beispielsweise
die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \rightarrow c \end{eqnarray*}$ betragsmäßig sehr große Werte annimmt, wobei c eine komplexe Konstante ist?
Also sorry für das Chaos...

17.09.2013, 08:07

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{[0,\pi]} \frac{1}{f(re^{it})-v} < K \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(re^{it})-v > K \end{eqnarray*}$ , wobei r groß ist.

Ich nehme an, hier fehlen Betragsstriche.

Zitat:

Fall 1: Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ .[/qote]
Dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to\infty}\lvert f(z)-v\rvert>0 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} w\neq v \end{eqnarray*}$ . Ganz einfach aufgrund der Eindeutigkeit des Grenzwerts.

[quote]Und Fall 3, bei dem weiß ich allerdings nicht, ob er Sinn macht:
Kann es sein, dass weder $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty } f(z) = \infty \end{eqnarray*}$
noch
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$
eintreten, der Grenzwert also beispielsweise hin-und-herspringt, je nachdem wie man nach Unendlich geht?

Ich dachte, du wolltest stetige Fortsetzbarkeit auf den Rand (inklusive Unendlich) fordern.

Zitat:

Wieso gibt es keine Abbildungen auf unbeschränkte Polynome, bei denen beispielsweise Fall 1 gegeben ist, also
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ , aber dafür beispielsweise
die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \rightarrow c \end{eqnarray*}$ betragsmäßig sehr große Werte annimmt, wobei c eine komplexe Konstante ist?
Also sorry für das Chaos...

Betragsmäßig sehr groß? Beliebig groß können die nicht werden, da $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sonst eine Polstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre (und so wie ich dich verstehe, soll $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf der reellen Achse nicht nach Unendlich abbilden). Und größer als der höchste Betrag auf dem Rand darf das nach dem Maximumprinzip nicht werden.

17.09.2013, 08:56

12345678

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Ok, dass macht Sinn, dass mit dem Maximumprinzip gefällt mir.

Ich kann also mit so einem f (stetig auf den Rand fortsetzbar und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) \neq \infty \end{eqnarray*}$ )
keinesfalls auf ein unbeschränktes Polygon abbilden?

Und lässt sich im Fall $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \end{eqnarray*}$ zeigen, dass f nur den Punkt Unendlich auf w abbildet und keinen sonst?

17.09.2013, 09:02

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
Ich kann also mit so einem f (stetig auf den Rand fortsetzbar und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) \neq \infty \end{eqnarray*}$ )
keinesfalls auf ein unbeschränktes Polygon abbilden?

Wenn du mit "stetig auf den Rand fortsetzbar" meinst, dass Unendlich dort nicht angenommen wird, ja. Würde der Punkt Unendlich irgendwo sonst angenommen werden, gäbe es eine Polstelle, was du ja ausschließt.

Zitat:

Und lässt sich im Fall $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{z \rightarrow \infty} f(z) = w \end{eqnarray*}$ zeigen, dass f nur den Punkt Unendlich auf w abbildet und keinen sonst?

Nein. Betrachte z.B. konstante Funktionen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Soll die Funktion nichtkonstant sein, gilt die Aussage aber auch nicht. Betrachte mal $\begin{eqnarray*} \frac z{(z-1)^2} \end{eqnarray*}$ . Das nimmt den Wert Null sowohl in Unendlich als auch in Null an.

17.09.2013, 09:34

12345678

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Zitat:

Betrachte mal $\begin{eqnarray*} \frac z{(z-1)^2} \end{eqnarray*}$ . Das nimmt den Wert Null sowohl in Unendlich als auch in Null an.

Mist, da hast du natürlich recht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hm dann muss ich mir wohl was anderes Überlegen.

Dir schon mal vielen Dank Wink

Wink

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