x² + y² = 3 z² mit ggT(x,y,z)=1 in Z unlösbar

16.09.2013, 15:06

sn0p

x² + y² = 3 z² mit ggT(x,y,z)=1 in Z unlösbar

Hey,
bin mitten im Lernen zu einer Klausur in Zahlentheorie und hänge jetzt an folgender Aufgabe aus einer alten Klausur:

$\begin{eqnarray*} \textnormal{Zeigen Sie es gibt kein Tripel } (x,y,z)\textnormal{ mit } ggT(x,y,z)=1 \textnormal{ sodass } x^{2} + y^{2} = 3 * z^{^2} \textnormal { in } \mathbb{Z} \textnormal{ lösbar ist.} \end{eqnarray*}$

Eigene Ansätze habe ich leider keine, da im Skript und den Übungsaufgaben keine vergleichbare Aufgabe auftaucht..
Die Forensuche und über Google brachten leider auch keine Hilfe, deshalb bräuchte ich einen kleinen Anstoß nach was ich schauen muss bzw ein Beispiel dazu, oder die Idee wie man sowas löst

Mfg

16.09.2013, 15:09

watcher

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Hallo und

,

schau dir die Gleichung modulo 3 an.

16.09.2013, 15:46

sn0p

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danke für die schnelle Antwort smile

also modulo 3:

$\begin{eqnarray*} x^{2} + y^{2} = 3 * z^{^2} \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} [x]^{2} + [y]^{2} = 0 * [z]^{^2} = 0 \end{eqnarray*}$

also müssten x,y jeweils 0 oder 1 und -1 modulo 3 sein?
aber wie argumentiert man jetzt weiter?

16.09.2013, 15:49

watcher

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Zitat:

also müssten x,y jeweils 0 oder 1 und -1 modulo 3 sein?

Das ist keine Einschränkung. Jede Zahl ist entweder 0,1 oder -1 modulo 3.

Welche Zahlen sind Quadratzahlen modulo 3?
Was können damit x² und y² modulo 3 nur sein?
Was gilt damit für x und y?

16.09.2013, 16:11

sn0p

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stimmt, hab ich wohl nicht nachgedacht vorm schreiben verwirrt

quadratzahlen modulo 3:

$\begin{eqnarray*} [0]^{2} = [0] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [1]^{2} = [1] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} [2]^{2} = [1] \end{eqnarray*}$

also müssen $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^{2} \end{eqnarray*}$ 0 modulo 3 sein
und damit müssen x und y jeweils einen faktor 3 haben

16.09.2013, 16:17

watcher

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Und jetzt zeige dass 3 auch z teilt.

16.09.2013, 16:37

sn0p

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x,y haben jeweils faktor 3

also x=3*x' und y=3*y'

x² + y² = 3*z²
<=> 3*3*x'*x' + 3*3*y'*y' = 3*z² | /3 und 3 ausklammern
<=> 3*(x'² + y'²) = z²

=> z² ist durch 3 teilbar
=> z ist durch 3 teilbar

widerspruch zu ggt(x,y,z)=1

16.09.2013, 16:44

watcher

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Und damit sind wir fertig, oder?

16.09.2013, 16:52

sn0p

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ja, weil jede lösung der gleichung mind ggt(x,y,z)=3 hat und es deshalb keine lösung mit ggt=1 geben kann

danke für die schnelle und gute hilfe Freude

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x² + y² = 3 z² mit ggT(x,y,z)=1 in Z unlösbar

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