Gradientenfelder

16.09.2013, 16:20

Felix.Cr

Gradientenfelder

Hallo alle zusammen,

wenn $\begin{eqnarray*} \bigtriangledown \times \vec F = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, so ist $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ ein Gradienten Feld.

Allerdings habe ich hier ein 2D Problem - gibt es noch andere Definitionen für 2 D Probleme oder nehme ich z als 0 an?

Viele Grüße

16.09.2013, 17:05

Che Netzer

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RE: Gradientenfelder
Das geht ganz allgemein für Vektorfelder $\begin{eqnarray*} (F_1,\dotsc,F_n)\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ . Man fordert dann $\begin{eqnarray*} \partial_iF_j=\partial_jF_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i,j=1,\dotsc,n \end{eqnarray*}$ .
Die verschwindende Rotation ist dann nur eine nette Schreibweise für einen Spezialfall.

(Ist das Vektorfeld nicht auf dem ganzen Raum definiert, so ist noch die Sternförmigkeit des Definitionsbereiches zu fordern)

Ob du nun einfach $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ annehmen und die Rotation betrachten kannst, darfst du dir nun selbst überlegen Augenzwinkern

PS: Für das Nabla-Zeichen gibt es übrigens den Befehl \nabla.

16.09.2013, 19:08

Felix.Cr

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okay, vielen dank! Also darf ich für z nicht 0 annehmen - schade smile

- Dann schaue ich mich mal weiter um - was ein Gradientenfeld ausmacht.

16.09.2013, 19:18

Felix.Cr

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also, die Frage ist, ob $\begin{eqnarray*} F_g \end{eqnarray*}$ ein Gradientenfeld ist.

$\begin{eqnarray*} F_g = \begin{pmatrix} 0 \\ -mg \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn es ein Gradientenfeld ist, muss gelten

$\begin{eqnarray*} F(x)=\nabla f(x) \end{eqnarray*}$

Also gucke ich ob meine $\begin{eqnarray*} F_g \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion hat. Allerdings - in welche Richtung muss ich den integrieren? Nach dx und dy? ->

$\begin{eqnarray*} F(x)=\begin{pmatrix} x \\ -mgy \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

16.09.2013, 19:22

Che Netzer

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Die erste Komponente müsstest du nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ integrieren; die zweite nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

Du kannst wie gesagt auch $\begin{eqnarray*} \partial_20=\partial_1(-mg) \end{eqnarray*}$ überprüfen. Das ist noch einfacher als die Rotation von $\begin{eqnarray*} (F_g,0) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

16.09.2013, 19:25

Felix.Cr

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mit deiner Schreibweise bin ich leider nicht vertraut - das müsstest du mir nochmal etwas genauer erklären smile

- ich lese mir gerade http://www.wias-berlin.de/people/john/LE...4_sose07_01.pdf durch. Muss nämlich noch das zugehörige Potential finden.

Aber eigentlich ist die Frage doch schon von mir beantwortet. Ja, Fg ist ein Gradientenfeld, weil ich dazu ein Partielles Integral gefunden habe (welches meinem Potential entsprechen müsste). Aber findet man nicht prinzipiel für alles eine Stammfunktion, wenn man nach dx dy dz integriert?

16.09.2013, 19:30

Che Netzer

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Eine Stammfunktion (ein Potential) sollte hier ein Skalarfeld sein. Denn nur dafür habt ihr Gradienten definiert.

16.09.2013, 19:39

Felix.Cr

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Also, brauche eine eine Summe und keinen Vektor mehr...

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} 0 \\ -mg \\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int \! 0 \, dx_1 + \int \! -mg \, dx_2 \end{eqnarray*}$

das wäre dann mein Potential:

$\begin{eqnarray*} F(x)=x_1 - mgx_2+C \end{eqnarray*}$

Aber dann findet man prinzipiell zu allem einen Potential, aber nicht alle Vektorfelder sind Gradientenfelder?

16.09.2013, 19:43

Che Netzer

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Wie kommst du auf die Idee, dass du die Integrale einfach addieren kannst?

16.09.2013, 19:46

Felix.Cr

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Also ist ein Gradientenfeld ein Feld durch das man laufen kann, ohne Arbeit zu verrichten. Also quasi Konservativ und Wegunabhängig. Könnte man das nicht irgendwie mit dem Linienintegral und dem Satz von Stokes zeigen? Aber der ist ja eigentlich für 3 Dimensionen - ich muss das irgendwie mal alles zusammenbringen...

wenn ich ein Wegintegral berechne - ist das abhängig vom Vektorfeld - wenn dieses Wirbelfrei ist - ist das Wegintegral wegunabhängig und damit ein Gradientenfeld. Wie zeige ich das im 2D? Ich setze mich mal dran

16.09.2013, 19:48

Felix.Cr

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stimmt - das wäre die Divergenz! Das steht dann ein Mal dazwischen und dann entsteht eine skalare Summe! Keine Ahnung was da los ist Gott

16.09.2013, 19:50

Che Netzer

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Ich habe größtenteils keine Ahnung, was du da sagen möchtest.
Wie man überprüft, ob ein gegebenes Vektorfeld ein Gradientenfeld ist, habe ich dir gleich am Anfang gesagt.

Mit $\begin{eqnarray*} \partial_i \end{eqnarray*}$ meine ich die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac\partial{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} F_j \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -te Komponente des Vektorfelds.
Nennst du das (eventuell vorhandene) Potential $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , so ist diese Schreibweise auch damit konsistent, dass $\begin{eqnarray*} F_j \end{eqnarray*}$ die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \partial_jF \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

16.09.2013, 20:04

Felix.Cr

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$\begin{eqnarray*} F(x)= \begin{pmatrix} \int \! \, dx_1 \\ \int \! -mg \, dx_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also ist dann mein Potential:

Überprüfen:

$\begin{eqnarray*} grad F = \nabla f =\begin{pmatrix} \frac{dF}{dx_1} \\ \frac{dF}{dx_2} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.09.2013, 20:22

Felix.Cr

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Noch eine weitere Frage: der Gradient mach aus einem Skalar einen Vektor und aus einem Vektor wieder einen Vektor? Tanzen

16.09.2013, 20:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von Felix.Cr
$\begin{eqnarray*} F(x)= \begin{pmatrix} \int \! \, dx_1 \\ \int \! -mg \, dx_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was soll das?

Zitat:

Original von Felix.Cr
Noch eine weitere Frage: der Gradient mach aus einem Skalar einen Vektor und aus einem Vektor wieder einen Vektor? Tanzen

Ersteres stimmt (besser wäre aber, "Skalarfeld" und "Vektorfeld" zu schreiben). Für Vektorfelder ist der Gradient üblicherweise nicht definiert, daraus würde aber aber eine Matrix bzw. einen Vektor von Vektoren machen.

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