Verschoben! Über Kugel integrieren

Neue Frage »

16.09.2013, 18:41	MaxderMathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Über Kugel integrieren Meine Frage: Hi, ich habe da eine Frage zu einer Aufgabe und wäre für einen kleinen Tip sehr dankbar Berechne für die obere Halbkugel: $\begin{eqnarray} K ={(x,y,z,)\|x^{2} +y^{2} +z^{2} \leq 4, z\geq 0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_K \! z \, dxdydz \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zunächst habe ich mir überlegt, dass man die Angaben recht gut auf Polarkoordinaten umschreiben kann. Es ist ja immer: $\begin{eqnarray} x^{2} +y^{2} +z^{2} \geq 0 \end{eqnarray}$ Also müsste doch auch gelten: $\begin{eqnarray} 0\leq \sqrt{ x^{2} +y^{2} +z^{2} }\leq 2 \end{eqnarray}$ und daraus könnte man nach den Kugelkoordinaten doch machen: $\begin{eqnarray} 0\leq r\leq 2 \end{eqnarray}$ Wenn man nun nur die obere Hälfte der Kugel betrachtet, ist doch klar, das der Winkel theta zwischen 0 und pi läuft und der Winkel phi zwischen 0 und 2 pi. Aber wie ersetze ich nun das y im Integrand? Wäre super, wenn mir hier jemand helfen könnte. Übermorgen ist Klausur angesagt und das verstehe ich einfach noch nicht. :/
16.09.2013, 18:49	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Über Kugel integrieren Wenn ihr die Flächeninhaltsformel für Kreise kennt [naja, besser: benutzen dürft], würde ich direkt den Satz von Fubini benutzen.
16.09.2013, 20:36	MaxderMathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, nein, dürfen wir leider nicht :/ Wir sollen es über die Koordinatentransformation machen :/
16.09.2013, 20:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann halt so. Dabei ist deine Frage also nur, was du mit dem $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ im Integranden machst? Dann solltest du dir ansehen, wie eure Kugelkoordinaten aussehen und was in der dritten Komponente "des Vektors mit $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und Sinus- und Cosinus-Termen" steht. D.h. worauf die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Komponente bei der Transformation in Kugel-Koordinaten abgebildet wird.
16.09.2013, 23:23	MaxderMathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist ja dann r* cos(theta). Und das kann ich dann einfach einsetzen und darüber integrieren?
17.09.2013, 08:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau. Vergiss aber die Funktionaldeterminante nicht (oder wie ihr das nennt).
Anzeige

17.09.2013, 11:43	MaxderMathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm, hier weiß ich jetzt nicht, was du meinst?
17.09.2013, 12:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie habt ihr denn den Transformationssatz formuliert? Da kam doch sicher eine Determinante vor. Ansonsten hilft auch eine Google-Suche nach "Funktionaldeterminante" (!)
17.09.2013, 15:29	MaxderMathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, habs raus gekriegt. In diesem Fall muss ich r cos(theta) an meinen term ranmultiplizieren
17.09.2013, 15:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Welcher trigonometrische Term dabeisteht, hängt von eurer Parametrisierung ab, aber $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ sollte eigentlich quadratisch auftreten.
17.09.2013, 20:34	MaxderMathematiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja, du hast vollkommen recht. hatte beim ausrechnen der Determinante einen Fehler gemacht. Danke für die Hilfe. ich glaube ich weiß jetzt, wie es geht

Neue Frage »

Antworten »

Verschoben! Über Kugel integrieren

Verwandte Themen