Absolute Konvergenz Exponentialreihe --> Konvergenz Sinusreihe

16.09.2013, 22:52	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Absolute Konvergenz Exponentialreihe --> Konvergenz Sinusreihe Moin, Warum folgt aus der absoluten konvergenz der Exponentialreihe $\begin{eqnarray} \sum^n_{k=0} \frac{(i x)^k}{k !} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ unmittelbar, dass auch die Reihen $\begin{eqnarray} \sum^n_{k=0} (-1)^k \frac{x^{2 k}}{(2k) !} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum^n_{k=0} (-1)^k \frac{x^{2 k+1}}{(2k +1)!} \end{eqnarray}$ absolut konvergieren? Ich komm nur durch viel abschätzen mit Cauchy: Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \sum^n_{k=m} \left\| \frac{x^k}{k !} \right\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n,m \geq N \end{eqnarray}$ darauf. Hier steht aber das folgt unmittelbar. Ist das so gemeint wie ich das gemacht habe?
16.09.2013, 23:20	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, konvergiert eine Folge absolut so konvergiert auch jede Teilfolge davon absolut. Hier ist sogar $\begin{eqnarray} \sum^{2n+1}_{k=0} \frac{\|x\|^k}{k !} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Majorante der beiden anderem Reihen. Edit: Index der Majorante ausgebessert.
16.09.2013, 23:56	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, ich verstehe nicht ganz warum $\begin{eqnarray} \sum^n_{k=0} \frac{\|x\|^{2k}}{(2k) !} \end{eqnarray}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} \sum^n_{k=0} \frac{\|x\|^k}{k !} \end{eqnarray}$ sein soll. Die Folgeglieder sind doch hier $\begin{eqnarray} S_n := \sum^n_{k=0} \frac{\|x\|^k}{k !} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} S_{2 n} \end{eqnarray}$ also die Folge $\begin{eqnarray} S_0,S_2,S_4,S_6,... \end{eqnarray}$ wäre für mich eine Teilfolge. Und zum Majorantenkriterium: Dazu müsste ich doch erstmal zeigen, dass gilt $\begin{eqnarray} \frac {\|x\|^{n 2}}{(2 n)!} \leq \frac{\|x\|^n}{n!} \,\,\,\,\,\,\,\, \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und das scheint mir jetzt beim ersten Versuch mit Induktion nicht so einfach zu sein.. Edit: Das mit dem Index den du geändert hast verstehe ich auch nicht. Es gilt dann vielleicht $\begin{eqnarray} \sum^{2n+1}_{k=0} \frac{\|x\|^k}{k !} \geq \sum^{n}_{k=0} \frac{\|x\|^{2k}}{(2k) !} \end{eqnarray}$ aber ich kenne das Majorantenkriterium so http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium Oder meinst du das (Anhang)
17.09.2013, 00:06	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich betrachte die konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray} (S_{2n+1})_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ als Mojarante. War das "sogar" irritierend?
17.09.2013, 00:14	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo das "sogar" hat ein wenig irritiert . Ich dachte das wäre eine Zusätzliche Möglichkeit das zu zeigen. Meinst du mit Majorate eventuell das hier: (siehe Anhang) Unter Majorante verstehe ich das hier http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium also müsste man erstmal die Summanden vergleichen
17.09.2013, 00:27	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind zwei unterschiedliche Varianten. Der Wikipedi-Link ist für Majoranten von Reihen, das Bild für Majoranten von Folgen. Ich meine das von Folge. Sorry wenn dich das Wort Reihe in meinem ersten Post verwirrt hat. Sogar bezog auf eine für zwei. Jetzt kommt ein Oder: Man kann z.B. auch $\begin{eqnarray} T_n=\sum_{k=0} ^n (\frac{\|x\|^{2k}}{k!} + \frac{\|x\|^{2k+1}}{(k+1)!})=S_{2n+1} \end{eqnarray}$ setzen. Das ist in beiden Sinnen eine Majorante von sowohl Sinus als auch Cosinus-Reihen.
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18.09.2013, 23:13	Nighel123	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank so funktionierts!

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