Sekantenverfahren

17.09.2013, 10:58

L.A.

Sekantenverfahren

Gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x³+2x-5 \end{eqnarray*}$

X-Werte: 0|1|2|3

Diese Werte habe ich nach und nach in die Funktion eingesetzt und erhalte die dazugehörigen Werte:

f(x): -5 | -2 | 7 | 28

Da es ein Vorzeichenwechsel bei -2 und 7 gegeben hat, ist X0 = 1 und X1 = 2. (Beim Sekantenverfahren sind doch die Werte wo das VZ-Wechsel passiert X0 bzw. X1, oder nicht?!)

f(x0) = -2
f(x1) = 7

Formel für Sekantenverfahren:

$\begin{eqnarray*} x_2 = x_1 - \frac{x_1 - x_0}{f(x_1) - f(x_0)} * f(x_1) \end{eqnarray*}$

Ich erhalte somit für x2 = 1,7777777
für f(x2) = 4,174211
x3 = 1,43024

Ist es vom Prinzip alles richtig verstanden?! Unsicher bin ich mir mit der Festlegung von X0 und X1, meine aber, das sind die Werte wo ein VZ-Wechsel stattfindet. Wenn die Formel etc. richtig ist, dann habe ich soweit es nachvollziehen können. Wäre schön, wenn es einer überprüfen könnte.

17.09.2013, 15:06

Steffen Bühler

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RE: Sekantenverfahren

Zitat:

Original von L.A.
Da es ein Vorzeichenwechsel bei -2 und 7 gegeben hat, ist X0 = 1 und X1 = 2. (Beim Sekantenverfahren sind doch die Werte wo das VZ-Wechsel passiert X0 bzw. X1, oder nicht?!)

Das Verfahren konvergiert auch mit beliebigen anderen Startwerten, aber so geht's in der Tat am schnellsten.

Zitat:

Original von L.A.
f(x0) = -2
f(x1) = 7

Formel für Sekantenverfahren:

$\begin{eqnarray*} x_2 = x_1 - \frac{x_1 - x_0}{f(x_1) - f(x_0)} * f(x_1) \end{eqnarray*}$

Ich erhalte somit für x2 = 1,7777777

Das erhalte ich nicht, wenn ich

$\begin{eqnarray*} x_2 = 2 - \frac{2 - 1}{7 - (-2)} * 7 \end{eqnarray*}$

berechne. Wie kommst Du auf Deinen Wert?

Viele Grüße
Steffen

17.09.2013, 15:19

L.A.

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Oh, habe die Werte von f(xo) und f(x1) in der Formel vertauscht.

Gut, aber die Formel ist richtig?

Weil, diese ist aus dem Netz und wir haben mit dieser Formel für das Sekantenverfahren gearbeitet:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac{x_{n-1} * f(x_n) - x_n * f(x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \end{eqnarray*}$

also das X1 vor dem Bruch fällt komplett weg, und man mulpliziert auch nicht beides im Zähler mit f(x1).

Edit: bekomme aber bei beiden 1,22222222 raus!!

Gehen also beide...

17.09.2013, 15:49

Steffen Bühler

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Die gehen in der Tat beide, denn

$\begin{eqnarray*} x_1 - \frac{x_1 - x_0}{f(x_1) - f(x_0)} \cdot f(x_1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {x_1 \cdot (f(x_1) - f(x_0))}{f(x_1) - f(x_0)} - \frac{x_1 \cdot f(x_1) - x_0 \cdot f(x_1)}{f(x_1) - f(x_0)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac {x_1 \cdot f(x_1) - x_1 \cdot f(x_0) - x_1 \cdot f(x_1) + x_0 \cdot f(x_1)}{f(x_1) - f(x_0)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac { x_0 \cdot f(x_1) - x_1 \cdot f(x_0)}{f(x_1) - f(x_0)} \end{eqnarray*}$

Der ursprüngliche Term ist fürs Sekantenverfahren anschaulicher, beim unteren muss weniger gerechnet werden.

Viele Grüße
Steffen

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