Sigma-Additivität des Lebesgue-Maßes, Beweis

17.09.2013, 11:59

Spritzname13

Sigma-Additivität des Lebesgue-Maßes, Beweis

Meine Frage:
Hallo, liebes Forum.
Ich soll folgendes Beweisen:

Gelte für eine Familie Ei, i Element N, messbarer Mengen:

L^n(Vereinigung (i=1 bis k) (Ei))=sum (i=1 bis k)(L^n(Ei)) für alle k Element N.

Zeigen Sie, dass dann

L^n(Vereinigung (i=1 bis unendlich)(Ei))=sum (i=1 bis unendlich)(L^n(Ei))

Meine Ideen:
Meine Idee:

Linke Seite kleiner gleich rechte Seite gilt auf Grund von Subadditivität

Zu zeigen:
linke Seite größer gleich rechte Seite

Widerspruchsbeweis: Angenommen die linke Seite sei kleiner als die rechte. Dann gibt es ein l Element N:=min{m Element N:L^n(Vereinigung (i=1 bis m)(Ei))<sum (i=1 bis m)(L^n(Ei))
Widerspruch zur Voraussetzung

17.09.2013, 14:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spritzname13
Widerspruchsbeweis: Angenommen die linke Seite sei kleiner als die rechte. Dann gibt es ein l Element N:=min{m Element N:L^n(Vereinigung (i=1 bis m)(Ei))<sum (i=1 bis m)(L^n(Ei))

Wieso gibt es so ein Element, d.h. inwiefern folgt das aus der Annahme? Das würde ich gern etwas näher begründet wissen. Augenzwinkern

17.09.2013, 15:27

Spritzname

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ist es denn nicht triviale Logik?
Wenn die rechte Seite "in der Unendlichkeit" größer ist als die linke, dann muss es doch auch einen konkreten "Zeitpunkt" geben, in dem sie die linke Seite "überholt" hat.

Oder mit anderen Worten:
Angenommen ich und mein Freund sind gleich groß, wir wissen aber: nach unendlich Zeit wird er größer als ich sein - dann muss es doch einen KONKRETEN Zeitpunkt geben in dem er angefangen hat, größer als ich zu sein

17.09.2013, 15:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spritzname
ist es denn nicht triviale Logik?
Wenn die rechte Seite "in der Unendlichkeit" größer ist als die linke, dann muss es doch auch einen konkreten "Zeitpunkt" geben, in dem sie die linke Seite "überholt" hat.

Du änderst aber zugleich linke wie rechte Seite, indem ja beide von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ abhängen. Und dann scheint mir die Sache nicht mehr so trivial.

Es ist ein Zwischenschritt, auf den ich aus bin, aber ich lasse mich da nicht auf endlose Diskussionen ein. Wenn du meinst, dass es so wie oben akzeptabel ist, dann soll es eben so sein.

17.09.2013, 15:38

Spritzname

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ich will doch garnicht endlos diskutieren, ich weiß nur nicht welchen Zwischenschritt du meinst, bzw wie ich meinen Gedanken mathematisch ausdrücken soll

17.09.2013, 15:55

HAL 9000

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Ich meinte es eigentlich so: Wir gehen von der Annahme

$\begin{eqnarray*} L^n\left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) < \sum_{i=1}^{\infty} L^n\left( E_i \right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

aus. Rechts steht ein Reihenwert, der Grenzwert der Partialsummenfolge $\begin{eqnarray*} s_m = \sum_{i=1}^m L^n\left( E_i \right) \end{eqnarray*}$ einer nichtnegativen Reihe ist. Also wird wegen (*) irgendwann die links stehende Konstante (!) $\begin{eqnarray*} L^n\left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) \end{eqnarray*}$ von einem Partialsummenwert auch überschritten, es gibt also ein $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} L^n\left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) < s_l = \sum_{i=1}^l L^n\left( E_i \right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Die linke Seite kann man nun wiederum wegen Maßmonotonie angewandt auf $\begin{eqnarray*} \bigcup\limits_{i=1}^l E_i \subseteq \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \end{eqnarray*}$ abschätzen

$\begin{eqnarray*} L^n\left( \bigcup\limits_{i=1}^l E_i \right) \leq L^n\left( \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} E_i \right) \end{eqnarray*}$ .

Beide Ungleichungen zusammen ergeben dann den von dir genannten angestrebten Widerspruch.

17.09.2013, 16:28

Spritzname

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danke

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