x² +5 = 0 mod p lösbar mit p>5

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sn0p Auf diesen Beitrag antworten »
x² +5 = 0 mod p lösbar mit p>5
hey,
hier eine weitere Aufgabe aus einer alten Zahlentheorieklausur:



Selber habe ich leider keinen Ansatz, da ich im Skript und den Übungsaufgaben nichts vergleichbares gefunden habe.
Habe testweise die Primzahlen < 100 ausprobiert und konnte rausfinden dass 7,23,29,41,43,47,61,67,83,89 Lösungen besitzen, der rest nicht; nur konnte ich darin kein System entdecken geschweige denn einen Beweisansatz.

Freue mich über jeden Tipp und Hinweis was ich mir anschaun sollte!

Mfg
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was steht denn an "Waffen" zur Verfügung? Ideal wäre z.B. das Quadratische Reziprozitätsgesetz. Augenzwinkern
sn0p Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die schnelle Antwort!

Ja das Quadratische Reziprozitätsgesetz stünde zur Verfügung, nur hab ich mich damit noch nicht wirklich beschäftigt. Wie setzt man denn dann damit an?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Gesucht sind ja alle mit Legendre-Symbolwert .

Erster Schritt: Es ist mit .

Bleibt noch das Quadratische Reziprozitätsgesetz selbst - das liefert

,

also .


Lösungen sind nun alle Primzahlen mit sowie die mit . (*) lässt sich für berechnen, während das bei (**) entsprechend für zutrifft. Zusammengewürfelt ergeben sich dann einige Lösungen für das Gesamtproblem.


P.S.: Hab ziemlich viel verraten, aber es bleibt noch einiges zu rechnen. Augenzwinkern
sn0p Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den sehr ausführlichen Ansatz Gott

Aber da die Klausur schon morgen ist konzentriere ich mich lieber mehr auf die anderen Aufgaben, die einfacher und vorallem schneller von der Hand gehen^^

Werde mich dann nächste Woche nochmal mit dem Thema und der Aufgabe beschäftigen!

Mfg
sn0p
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, es ist eben keine Aufgabe, die schnell mal in 5 Minuten erledigt ist (es sind wohl eher 10-15 Minuten Augenzwinkern ).

Zumindest kann man die Lösungen am Ende überraschend kurz charakterisieren:
Es sind genau die Primzahlen , deren vorletzte Dezimalstelle gerade ist - was ja auch sehr gut zu deinen Beobachtungen

Zitat:
Original von sn0p
Habe testweise die Primzahlen < 100 ausprobiert und konnte rausfinden dass 7,23,29,41,43,47,61,67,83,89 Lösungen besitzen, der rest nicht

passt.
 
 
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