Beweis Eigenwert und Diagonalisierbarkeit

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berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Eigenwert und Diagonalisierbarkeit
ich steh vor folgender aufgabe und weiß leider überhaupt nicht, wie ich anfangen soll:

Sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Sei f element End(V) mit f ° f=f . Beweise die Aussagen:
a) Ist elemant K ein Eigenwert von f, so gilt element {0,1}
b) f ist diagonalisierbar

kann mir jemand einen tipp/hilfe geben, bin am verzweifeln! unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: BEWEIS eigenwert und diagonalisierbarkeit
Fangen wir mal mit a) an.
Wenn ein Eigenwert von ist, gilt ja für ein . Benutze nun die Voraussetzung.
 
 
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau, die Definition hab ich auch! genauso wie:
wenn Eigenwert von der zugehörign Matrix A, dann ist det(A- E)=0
aba ich weiß nich genau, wie ich mit diesen 2 vorraussetzungen weiter mahen muss...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: Wende die Voraussetzung der Aufgabe (es gibt ja nur eine "besondere" Voraussetzung) auf die Gleichung an.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

also kann man sagen:
f(v) ° f(v) = f(v) = v
oda bin ich da ganz aufn Holzweg?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn "f(v) ° f(v)" sein? Wofür steht dieser Kringel ?
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

ja des hab ich gemeint! der kringel is eine Verknüpfung! aba ich hab damit noch nie einen beweis gemacht! deshalb verwirrt mich des...
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, eine Verknüpfung, aber was für eine? Wie ist definiert?
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

ja es steht nur f f = f
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie ist definiert?
Hier ist der Spezialfall angenommen, dass dasselbe ist wie . Um diese Bedingung verstehen zu können, musst du aber die Definition des darin vorkommenden Ausdrucks kennen.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

f(f(x)) ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Satz drumherum wäre praktisch. Was soll dieser Ausdruck sein bzw. was wird dadurch definiert? Was ist ?
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

wenn des passen würde, dann kann man doch schreiben:

f(f(v))=f(v)= v

dann sieht man ja dass nur 1 oda 0 sein kann!! weil wenn es zB 3 wäre, dann würd ja f(v)= 3v sein, und f(f(v)=9v sein! kann man des so sagen? aba wie schreibt man sowas dann formal hin?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, zumindest stimmt diese Gleichung schonmal.
Setze in ein und nutze die Linearität von . Setz anschließend nochmal ein und setz das mit gleich.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

aaaah smile schonmal vielen lieben dank für die Information! ich glaub des hilft mir echt weiter! ich hät jetzt:
f(f(v)) = f( v) = f(v) = v

folglich is ja dann Lambda Quadrat mal v die lösung! und nur 0 mal 0 = 0, sowie 1mal 1 = 1 !! also kann ja keine andere zahl in frage kommen oda? smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute, du bist jetzt auch auf gekommen. Jetzt fehlt noch ein Argument, wieso du daraus folgern kannst.
Anschließend musst du begründen, wieso nur Null und Eins diese Gleichung lösen.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

sorry dass ich jetz erst schreibe! also ich hät den beweis jetz so verfasst:

Wenn Eigenwert vo f ist, dann gilt f(v)= v für ein v element V.
Da f ° f = f, gilt f(f(x)) = f(v) = v
Durch die Linearität von f(v) folgt f(f(x))= f( v ) = f(v) = v = ^{2}[/latex] = v
daraus folgt element {0,1}. Denn für element R/{0,1} gilt nicht v = ^{2}[/latex] v

was fehlt denn da noch? oda wo passts formal nicht? smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von berlinerin
Denn für element R/{0,1} gilt nicht v = ^{2}[/latex] v

Wieso nicht?
Und wieso schreibst du gelegentlich statt ? Und statt müsste es heißen.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

ja bei dem x und v hab ich mich vertippt unglücklich
und mit dem formeleditor bin ich noch bisschen auf Kriegsfuß.. aba ich versuchs...
wie kann ich des zeigen, dass für R\{0,1} nicht der fall is? brauch ich da dann nen widerspruchsbeweis noch?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gar nicht so aufwändig. Wenn du gegeben hast, muss einer der Faktoren Null sein. Wieso dürfe wir annehmen?

Übrigens ist in der Aufgabe von einem Körper die Rede – nicht speziell von den reellen Zahlen.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

also ein eigenvektor darf nicht der nullvektor sein. deshalb v ungleich 0.
aba wie komm ich auf diese Gleichung mit den nullstellen 1 und 0 ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du von auf kommst?
Naja, das kannst du ja noch selbst überlegen, ich gehe jetzt nämlich schlafen.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

wird gemacht! danke und gute nacht Augenzwinkern
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

okeeee ich habs verstanden!! einfach die Gleichung auflösen Hammer liegt wohl an der späten Uhrzeit ^^
wegen b) f ist diagonalisierbar. hab ich mir folgendes gedacht:

Diagonalisierbarkeitskriterium:
i) charakteristisches Polynom zerfällt in Linearfaktoren
ii) alg. Vielfachheit = geo. Vielfachheit

i) ist erfült! denn das ch. Polynom zerfäll,t wie in a) zu sehen.
ii) is erfüllt den die Eigenwerte 1 und 0 haben jeweils algebraische Vielfachheit = 1 und
geometrische Vielfachheit = 1.

passt des? smile )
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollen die Eigenwerte jeweils algebraische und geometrische Vielfachheit Eins haben?
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

ja da hab ich mich vertan! ich hab mir nur die gleichnung angeschaut..
aba kann ich mit dieser Definition weitermachen? wenn ja, was wäre der nächste schritt? oda brauch ich die Definition für diagonalisierbarkeit mittels minimalpolynom?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es einen Eigenwert gäbe, dessen algebraische Vielfachheit größer als die geometrische Vielfachheit ist, gäbe es Hauptvektoren, also Vektoren mit

aber , für ein . Sagt dir das etwas?

Edit: Ach so, mit dem Minimalpolynom geht es natürlich schneller. Schreib mal die entsprechende Bedingung auf.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

nein momentan leider nicht verwirrt
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

Minimalpolynom:
Sei f element End(V).
Dann ist f genau dann diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom in lauter verschiedene Linearfaktoren zerfällt ! smile
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, verschiedene Lineafaktoren, d.h. ohne mehrfache Nullstellen.
Und was ist das Minimalpolynom?
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

genau !
Das minimalpolynom ist das Polynom kleinesten grades (mindesten grad 1, aba höchstes mit dem grad des charakteristischen Polynoms) sodass es 0 rauskommt, wenn man f in das Minimalpolynom einsetzt!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, bis auf Vorzeichen.
Und erfüllt diese Bedingung?
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man da jetz f einsetzt, dann kommt 0 raus!
weil man ja f ° f beachten muss!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Schreib also mal sauber auf, wieso diagonalisierbar ist.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung:
f ist diagonalisierbar

Beweis:
Sei X( ) = ^b ( - 1)^a,
a,b element R, das charakteristisches Polynom von f. (siehe aufgabe a))

Da m(f) = f(f-1) = f(f) - f = f°f - f = f - f = 0 gilt, ist
m( ) = ( - 1) das Minimalpolynom von f.
Da m( ) in lauter verschiedene Linearfaktorn zerfällt folgt, dass f diagonalisierbar ist.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

kann man das so einigermaßen stehen lassen? oda fehlt da noch viel? und wo passts formal ned?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von berlinerin
Da m(f) = f(f-1) = f(f) - f = f°f - f = f - f = 0 gilt,

Du hast nicht definiert.
Du könntest damit anfangen, dass das Minimalpolynom von der Form ist.
berlinerin Auf diesen Beitrag antworten »

okee wird gemacht! vielen lieben dank für deine geduld! smile
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