Lösung der Wärmeleitungsgleichung, wieso Reihenansatz?

17.09.2013, 16:01	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung der Wärmeleitungsgleichung, wieso Reihenansatz? Folgendes: Bereite mich gerade auf eine mündliche Mathematikprüfung vor und ein Thema sind PDEs. Z.b. sollen wir die Wärmeleitungsgleichung lösen können. Im Skript geht es dazu um das ARWP des endlich langen homogenen Stabes mit folgenden Bedingungen: $\begin{eqnarray} u_t=a²u_{xx}+f(x,t)\,\,\,,\,\,0\,<\,x\,<\,l\,\,\,,0\,\leq\,t \end{eqnarray}$ AB: $\begin{eqnarray} u(x,0)=\phi(x) \end{eqnarray}$ RB: $\begin{eqnarray} u(0,t)=\phi_{1}(t) \,\,\,,u(l,t)=\phi_{2}(t) \end{eqnarray}$ Es gilt natürlich: $\begin{eqnarray} \phi(0)=\phi_1(0) \,\,\,,\phi(l)=\phi_2(0) \end{eqnarray}$ Auf grund des homogenen Problems gilt: $\begin{eqnarray} f=0, \phi_1=\phi_2=0 \end{eqnarray}$ Lösung folgt in 4 Schritten: 1. Separation 2. Anpassung an die Randbedingungen 3. Anpassung an die Anfangsbedingungen (Reihenansatz) 4. geeignete Struktur der Lösung herstellen 1. Separationsansatz ist klar. Es ergibt sich: $\begin{eqnarray} u(x,t) = e^{\lambda a^2t}\left(B_1\sin(\sqrt{-\lambda}x )+B_2\cos(\sqrt{-\lambda} x) \right) \end{eqnarray}$ 2. Anpassung an RB: $\begin{eqnarray} u(0,t) = 0 \rightarrow B_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(l,t) = 0 \rightarrow \sqrt{-\lambda}l=n\pi \rightarrow \lambda=-\frac{n^2\pi^2}{l^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_n(x,t) = e^{\frac{a^2t\pi^2n^2}{l^2}}sin(\frac{n\pi}{l}x ) \end{eqnarray}$ 3. Anpassung an AB: $\begin{eqnarray} t=0 \rightarrow u_n(x,t) =sin(\frac{n\pi}{l}x ) \end{eqnarray}$ Und jetzt steht hier da, dass diese $\begin{eqnarray} u_n \end{eqnarray}$ mit ihren Linearkombinationen im allgemeinen NICHT! die AB erfüllen und deswegen ein Reihenansatz gemacht wird. Aber warum erfüllen die, die AB nicht im Allgemeinen? Kann mir das jemand genauer erklären?
17.09.2013, 16:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Im allgemeinen muss $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ keine (endliche) Linearkombination solcher Terme sein.
17.09.2013, 16:23	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok...und wie kommt man dann gerade zu der idee mit dem reihenansatz? ich meine prinzipiell ist es ja unwichtig, aber sollte er fragen, warum wäre es sinnvoll, wenn ich erklären, kann wieso.
17.09.2013, 16:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Stichwort lautet: Fourier-Reihen. Oder Satz von Stone-Weierstraß. Die trigonometrischen Polynome liegen ja dicht im Raum der stetigen Funktionen (auf einem geeigneten Intervall). Cosinus-Terme würden allerdings die Randbedingung kaputtmachen.
17.09.2013, 16:42	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh ok. Es geht also um die Folgerung aus dem von dir genannten Satz, man stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall mit gleichen Werten an den Rändern durch trigonometrische Polynome approximieren kann. Und Kosinus fällt aus, weil ja per RB schon der Kosinusterm eliminiert wurde. Ist das so der Wortlaut, den man verwenden könnte?
17.09.2013, 16:44	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, auf Nachfrage könnte man noch erklären, wieso die Cosinusterme "eliminiert" wurden.
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17.09.2013, 17:23	alex2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, hab vielen Dank!

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