Nullstellen Sinusfunktion Substitution

17.09.2013, 19:04

Mathenewcomer

Nullstellen Sinusfunktion Substitution

Hallo liebe Mathefreunde:

Ich soll von folgender Funktion ein paar Nullstellen berechnen:

f(x) = 2 sin ( x - Pi/3 ) -1

Mein Ansatz:

f(x) = 0

0 = 2 sin ( x - Pi/3 ) -1

1/2 = sin ( x - Pi/3 ) | Substitution

1/2 = sin z

z = 1/6 Pi | Resubstitution

1/6 Pi = x - Pi/3

x = 1/2 Pi (Meine erste Nullstelle!)

Ich weiß, dass der Abstand zwischen zwei Nullstellen immer die Hälfte der Periodenlänge T ist

T = 2*pi / b = 2* Pi

Folglich muss ich nur noch die Hälfte des Abstandes T/2 zu meiner ersten Nullstelle addieren:

T/2 = Pi

--> x = 1/2 Pi + k * Pi

In der Lösung steht aber. dass ich 2*Pi addieren muss: Folglich:

--> x = 1/2 Pi + k *2* Pi

Damit würde der Abstand zwischen den Nullstellen eine komplette Periode T betragen, jedoch befindet sich dort doch immer eine Nullstelle - wo ist mein Denkfehler???

Vielen Dank

17.09.2013, 20:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathenewcomer
Ich weiß, dass der Abstand zwischen zwei Nullstellen immer die Hälfte der Periodenlänge T ist

Das mag auf die Nullstellen der Sinusfunktion $\begin{eqnarray*} 2\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \end{eqnarray*}$ zutreffen - nicht aber auf die Nullstellen der wertemäßig verschobenen Funktion $\begin{eqnarray*} 2\sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right)-1 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

Es gibt die beiden "Basisnullstellen"

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{6} = x - \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ (die hast du ja)

sowie

$\begin{eqnarray*} \pi - \frac{\pi}{6} = x - \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$ (Symmetrie der Sinusfunktion).

Alle weiteren Nullstellen entstehen aus diesen beiden durch Addition von Vielfachen der Periodenlänge, die hier $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist.

17.09.2013, 23:24

Mathenewcomer

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Vielen Dank für die Antwort. Jedoch habe ich zu deiner Antwort noch weitere Fragen:

Heißt das jetzt, dass die NUllstellen bei jeder um d wertemäßig verschobenen Funktion der Form f(x) = a*sin(b*x - c) +d
um die Periodenlänge 2 Pi von einander entfernt sind??? Oder muss ich noch weitere Aspekte beachten?
Vielen Dank

18.09.2013, 08:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathenewcomer
Heißt das jetzt, dass die NUllstellen bei jeder um d wertemäßig verschobenen Funktion der Form f(x) = a*sin(b*x - c) +d
um die Periodenlänge 2 Pi von einander entfernt sind???

Sofern es überhaupt Nullstellen gibt (im Fall |d|>|a| gibt es keine), dann sind diese innerhalb der Schar um die Periodenlänge $\begin{eqnarray*} \frac{2\pi}{|b|} \end{eqnarray*}$ entfernt.
Aber wie erwähnt, es gibt i.d.R. zwei solche Scharen.

Ich halte übrigens nicht viel davon, hier jetzt ein allgemeines Regelwerk bezogen auf a,b,c,d für die Nullstellen derartiger Funktionen zu entwickeln. Man kann sich doch auf die Grundfrage der Umkehrung

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = t \end{eqnarray*}$

konzentrieren, für $\begin{eqnarray*} -1\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ mit den beiden Lösungsscharen

$\begin{eqnarray*} \arcsin(t) + 2k\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pi-\arcsin(t) + 2k\pi \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die ganzen Zahlen durchläuft. In den beiden Randfällen t = $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ sind die beiden Scharen identisch. Kann man sich gut klarmachen, wenn man mal die Sinusfunktion und deren Schnittpunkte mit diversen Niveaulinien betrachtet:

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