Grenzwert einer Folge (mit Wurzeltermen)

17.09.2013, 21:00

Fragesteller1324

Grenzwert einer Folge (mit Wurzeltermen)

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich verzweifle gerade an der folgenden Aufgabe:

Zitat:

Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = \sqrt{n}(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}) \end{eqnarray*}$ .

Der Grenzwert lautet $\begin{eqnarray*} \textstyle-\frac12 \end{eqnarray*}$ . Doch wie weise ich das nach? Vielen Dank für jede Hilfe!

Meine Ideen:
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n}(\sqrt{n-1}-\sqrt{n}) = \sqrt{n(n-1)}-\sqrt{n^2} = \sqrt{n^2-n}-n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(\sqrt{n^2-n}-n)(\sqrt{n^2-n}+n)}{\sqrt{n^2-n}+n} = \frac{(n^2-n)-n^2}{\sqrt{n^2-n}+n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}\ <\ \frac{-n}{\sqrt{n^2}+n} = \frac{-n}{2n} = -\frac12 \longrightarrow -\frac12 \end{eqnarray*}$

Eine Abschätzung nach unten will mir jedoch nicht gelingen.

17.09.2013, 21:12

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Folge (mit Wurzeltermen)

Zitat:

Original von Fragesteller1324
$\begin{eqnarray*} = \frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n} \end{eqnarray*}$

Jetzt nur noch ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kürzen.

Edit: Ist übrigens mal wieder ein Spezialfall von
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\Bigl(\sqrt{x^2+ax+b}-\sqrt{x^2+cx+d}\Bigr)=\frac{a-c}2\,. \end{eqnarray*}$

17.09.2013, 21:20

Fragesteller1324

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwert einer Folge (mit Wurzeltermen)
$\begin{eqnarray*} = \frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n} = \frac{-1}{\sqrt{1-\frac1n}+1} \end{eqnarray*}$

Da hätt' ich wohl auch drauf kommen können…

Dankeschön!! smile

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwert einer Folge (mit Wurzeltermen)

Verwandte Themen