Linearfaktorzerlegung

17.09.2013, 21:02

xotix

Linearfaktorzerlegung

Meine Frage:
Mittels Linearfaktoren kann man Gleichungen n-ten Grades mit linearen Gleichungen darstellen. Korrekt? Sowas wie (x-3)(x+5)

Der Vorteil dabei ist, man sieht die Nullstellen sofort, korrekt?

Der Nachteil beim herausfinden der Linearfaktoren ist, dass man eine Nullstelle zuersteinmal erraten muss und dies nicht ausrechnen kann. Dann macht man x minus diese Nullstelle und erhlät den ersten Faktor.

Per polynomdivision reduziert man die Gleichung um je ein Grad.

Meine Ideen:
Stimmt die Theorie soweit? Habs bis jetzt nie durchgerechnet und zwar darum:

Die Aufgabe lautet: Zerlegen Sie in Linearfaktoren: 2x^3+9x^2-5x

Meine Erwatung ist nun, sowas rauszukriegen: (x-1)(x-2)(x-3) (Werte nur beispielhaft) Aber ich gehe davon aus, dass man 3 Linearfaktoren hat, da man ja drei Grade hat.Das Wäre somit die Lösung, die Nullstelle interessiert hier keinen.

Was muss ich nun machen? Muss ich echt raten bzw. rumprobieren und dann eine Poly. machen?

Ich habe einfach die Nullstellen berechnet. Eine ist sicher null, da es überall x hat. Nun teile ich erstmal alles durch x und erhalte eine quadratische Gleichung. Nun wende ich die Mitternachtsformel an und kriege den Rest. Doch nun habe ich doch keine Linearfaktoren oder? Woher weis ich ob die Faktoren minus oder Plus sind? Wie geht man vor und wieso ist es oben, als ichs erklärt hab, minus? Mich nervt das irgendwie, da es nirgends richtig ins Detail erklärt wird. Ich brauch auch keine Zahlen, mir genügen Variabeln, mag dies sogar besser. Eine Allgemeine herleitung wäre toll für dieses Verfahren. Wieso macht man nach dem Raten immer minus? Wäre froh, wenn jemand die Aufgabe oben kurz vorlöst.

17.09.2013, 21:41

Kasen75

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RE: Linearfraktorzerlegung Aufgabe

Zitat:

Original von xotix

Ich habe einfach die Nullstellen berechnet. Eine ist sicher null, da es überall x hat. Nun teile ich erstmal alles durch x und erhalte eine quadratische Gleichung. Nun wende ich die Mitternachtsformel an und kriege den Rest. Doch nun habe ich doch keine Linearfaktoren oder?

Noch hast du keine Linearfaktoren. Die kannst du aber erzeugen.

In deinem Beispiel ist allgemein die Funktion mit Linearfaktorzerlegung: $\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2) \end{eqnarray*}$

Mit der Mitternachtsformel hast du $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ berechnet. Jetzt nur noch einsetzen. Man muss sicher bei den Vorzeichen aufpassen. Aber versuche es erst einmal.

Grüße.

17.09.2013, 22:02

xotix

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Dass ich die Faktoren erzeugen kann ist mir auch klar. Aber mir gibts da einfach zuviel "probier mal", "rate mal": Wie du eben sagtest.
Das ist mir alles zu ungenau. Ich will nicht lösen können, ich will das verstehen und damit argumentieren können. Wenn ichs umsverrecken lösen möchte mit rumprobieren, hät ichs irgendwie hinbekommen. Rumprobiert bis die Probe stimmt.

Kannst du das nicht etwas genauer erklären? Die Vorzeichen sind wohl abhängig von dem was man will, wie bei Binomen etc.

Sehe ich das richtig, dass Funktion die allgemein Form ist und diese für jedes Grad erweiterbar ist mittels (x-xn)?

Wie ist die Regel für die Vorzeichen? Da muss es doch eine Regel geben, hab kein Bock da immer rumzutüfteln sondern möchts wissen. (Allgemein, nicht nur für die ersten paar Grade. Sowas wie das Pascalsche Dreieck, einfach für Linearfaktoren. Also einfach eine Regel die ich für die Vorzeichen anwenden kann. Hoffe es ist klar was ich möchte. smile

Danke

17.09.2013, 22:10

Kasen75

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Zitat:

Original von xotix
Hoffe es ist klar was ich möchte. smile

Jetzt, ja. Dir scheint aber nicht klar zu sein, dass deine Mitarbeit erforderlich ist. Lange Begründungen, warum du es nicht hinbekommst, bringen uns nicht weiter.

Du schreibst ja, dass du schon was versucht hast. Bitte posten-inklusive deine Gedanken dazu.

Dann kann ich dir präzise antworten und die Sache ist wahrscheinlich schon gegessen.

17.09.2013, 22:18

xotix

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Ich habe nur das gemacht was ich oben schrieb. Dass ich daraus die Faktoren kriege ist mir klar, hab ich nicht gemacht, da es mir nichts bringt. Ich suche einfach die Regeln. Wie gesagt ist es mir zuviel "rate mal, probiere mal".

Hier also meine Fragen noch einmal:
1. Anfangs muss ich wirklich erstmal "raten" bzw. einen Nullstelle finden.
2. Deine Funktion ist anwendbar für jedes Grad sofern man sie korrekt erweitert (x-xn)?
3. Gibts eine Regel für die Vorzeichen? Die Vorzeichen der Form die du gepostet hast, hätte ich jetzt halt durch probieren herausgefunden. Geht aber sicher einfacher, nicht?

Du hast mir ja bereits bestätigt, dass ich das Prinzip im Grunde kapiert habe.

Kann die Aufgabe leider nicht kontrollieren, da ich die Lösung nicht haben.

17.09.2013, 22:26

Kasen75

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Zitat:

Kann die Aufgabe leider nicht kontrollieren, da ich die Lösung nicht haben.

Du sollst deine Lösung auch nicht für dich alleine kontrollieren, sondern posten.
Was ist so schwer daran ?

Natürlich gibt es hier ein systematisches Vorgehen. Dies würde ich gerne, mit deiner Hilfe, an dem Beispiel erläutern.

Zitat:

1. Anfangs muss ich wirklich erstmal "raten" bzw. einen Nullstelle finden.

Wenn du einen Polynomfunktion vom Grad größer 2 hast, dann ja.

Zitat:

Deine Funktion ist anwendbar für jedes Grad sofern man sie korrekt erweitert (x-xn)?

Prinzipiell ja.

Zitat:

3. Gibts eine Regel für die Vorzeichen? Die Vorzeichen der Form die du gepostet hast, hätte ich jetzt halt durch probieren herausgefunden. Geht aber sicher einfacher, nicht?

Wenn du so willst, gibt es eine Regel. Die würde ich gerne an deinem Beispiel demonstrieren.

17.09.2013, 23:04

xotix

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Kasen75 ich möchte ja nicht unhöflich sein oder dir irgendwas verweigern, aber ich habe nicht weitergemacht.

Folgendes habe ich gedacht: Ich hab nun die 2 x, die hätte ich in deine Funktion gepackt und die Vorzeichen erraten.

Aber bitte, mach ichs mal:

x(x-0.5)(x+5):
(x-0.5)(x+5)=x^2+5x-0.5x-2.5 dazu kommt das x also x^3+4.5x^2-2.5x nun sieht man das man noch * 2 rechnen muss, dass ergibt:
2x(x-0.5)(x+5)=2x^3+9x^2-5x was ja stimmt, nun habe ich lineare Faktoren.

Mir sind allgemeine Formen lieber als reine Beispiel Erklärungen. Es ist doch nicht immer minus in den Faktoren oder?

17.09.2013, 23:59

Kasen75

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Also:

$\begin{eqnarray*} 2x^3+9x^2-5x \end{eqnarray*}$

Ausklammern von x (Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} x(2x^2+9x-5) \end{eqnarray*}$

Um es auf die allgemeine Form: $\begin{eqnarray*} a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)\cdot \ldots \cdot(x-x_n) \end{eqnarray*}$ zu bringen, ist es günstig 2 auszuklammern.
n sind hier die Anzahl der(reellen) Nullstellen.

$\begin{eqnarray*} 2x(1x^2+4,5x-2,5) \end{eqnarray*}$

Der Summand mit der höchsten Potenz muss den Faktor 1 haben.

Jetzt hast du als Lösung mit der p-q-Formel: $\begin{eqnarray*} x_2=0,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3=-5 \end{eqnarray*}$

Dies kann man jetzt in die obige Formel einsetzen.

$\begin{eqnarray*} 2x\cdot (x-0,5)\cdot (x-(-5)) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ wird 0,5 eingesetzt. Das dürfte soweit klar sein.

Für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ wird -5 eingesetzt. Es wird somit nicht 5 eingesetzt.

Somit wäre der Linearfaktor $\begin{eqnarray*} (x-x_3)= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x--5) \end{eqnarray*}$

Die zwei Minuszeichen hintereinander sind aber, von der Schreibweise her, unüblich. Man macht einfach noch eine Klammer um -5:

$\begin{eqnarray*} (x-x_3)= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x-(-5)) \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt der Satz:" Man neutralisiert das negative Vorzeichen vor einer Klammer, indem man die Vorzeichen in der Klammer umdreht."

Somit ergibt sich für den drittten Linearfaktor (x+5)

Somit ergibt sich insgesamt:
$\begin{eqnarray*} 2x^3+9x^2-5x=2\cdot (x-0)\cdot (x-0,5) \cdot (x+5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ hat im Prinzip auch einen Linearfaktor. Da aber $\begin{eqnarray*} x-0=x \end{eqnarray*}$ ist, kann man gleich einfach den Faktor x ausklammern.

$\begin{eqnarray*} 2x^3+9x^2-5x=2\cdot x\cdot (x-0,5) \cdot (x+5) \end{eqnarray*}$

18.09.2013, 16:56

xotix

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Da kamen wir ja aufs gleiche. Deine Struktur ist sicherlich besser, aber wie würde man nun die Vorzeichen der Faktoren rausfinden hätte man ein x^5 oder dergleichen (rausprobieren)? Ist dieses Verfahren nur für Gleihcungen die alle Potenzen beinhalten? Also von 1-3 oder 1-5 oder so?

Und iweso die PQ Formel? MIr istklar, dass man diese anwenden kann sofern x^2 keinen Multiplikator (nennt man das so?) hat. Wieso nicht einfach immer die Mitternachtsformel? Ich benutze immer Letzere da mir erste einfach missfällt, finde ich komplizierter ausserdem wurde mir bis jetzt nie ein besonderer Grund genannt wieso ich auch mal die PQ benutzen sollte.

18.09.2013, 17:21

Kasen75

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Zitat:

Original von xotix
Und iweso die PQ Formel? MIr istklar, dass man diese anwenden kann sofern x^2 keinen Multiplikator (nennt man das so?) hat. Wieso nicht einfach immer die Mitternachtsformel? Ich benutze immer Letzere da mir erste einfach missfällt, finde ich komplizierter ausserdem wurde mir bis jetzt nie ein besonderer Grund genannt wieso ich auch mal die PQ benutzen sollte.

Die Mitternachtsformel geht auch. Diese benutze ich auch lieber.

Zitat:

Original von xotix
Da kamen wir ja aufs gleiche. Deine Struktur ist sicherlich besser, aber wie würde man nun die Vorzeichen der Faktoren rausfinden hätte man ein x^5 oder dergleichen (rausprobieren)? Ist dieses Verfahren nur für Gleihcungen die alle Potenzen beinhalten? Also von 1-3 oder 1-5 oder so?

Die Frage verstehe ich nicht wirklich. Ein Beispiel könnte Klarheit schaffen.

18.09.2013, 19:01

xotix

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Also du hast die Form: f(x) = x(x-x1)...(x-xn)

(Sry das ich kein Latex benutze, werde das die kommende Zeit mal verinnerlichen)

Nun, wenn ich sowas habe wie: x^5+x^4-x^3-x^2+x^1

Habe ich ja 5 Klammern. Diese Kalmmern können ja + oder - enthalten. Gibts einen Trick, diese herauszufinden?

Und eine zweite Frage, könnte man eine Gleichung wie diese hier mit gdem gleichen Verfahren korrekt in linear Faktoren teilen? x^5+x^2-x^1

18.09.2013, 19:26

Kasen75

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Zitat:

Original von xotix
Also du hast die Form: f(x) = x(x-x1)...(x-xn)

(Sry das ich kein Latex benutze, werde das die kommende Zeit mal verinnerlichen)

Nun, wenn ich sowas habe wie: $\begin{eqnarray*} x^5+x^4-x^3-x^2+x^1 \end{eqnarray*}$

Habe ich ja 5 Klammern. Diese Kalmmern können ja + oder - enthalten. Gibts einen Trick, diese herauszufinden?

Du musst ja die (reellen) Nullstellen herausfinden. Das ist für Polynome vom Grad größer 2 in Regel nicht so einfachen.

Dass man x ausklammern kann, das ist ja klar.

Edit:
Wenn du aber die Nullstellen hast, das sind diese jeweils $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, \ldots \end{eqnarray*}$

Das mit den Vorzeichen sollte eigentlich geklärt sein, oder nicht ?

Zitat:

Original von xotix
Und eine zweite Frage, könnte man eine Gleichung wie diese hier mit gdem gleichen Verfahren korrekt in linear Faktoren teilen? x^5+x^2-x^1

x ausklammern: $\begin{eqnarray*} x(x^4+x-1) \end{eqnarray*}$

Die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^4+x-1 \end{eqnarray*}$ zu ermitteln gestaltet sich ebenso schwierig.

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