Integral durch Riiemannsche Summen berechnen

18.09.2013, 10:20

Theend9219

Integral durch Riiemannsche Summen berechnen

Heey

Ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:

Berechnen Sie das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{a} log(x)dx \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a >1 \end{eqnarray*}$ durch Riemannsche Summen. Wählen Sie dazu für $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ die Unterteiliung $\begin{eqnarray*} 1< a^{\frac{1}{n}} <a^{\frac{2}{n}} < \cdot \cdot \cdot < a^{\frac{k-1}{n}} < a \end{eqnarray*}$ des Intervalls $\begin{eqnarray*} [1,a] \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Bestimmen Sie zuerst $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty} n(a^{\frac{1}{n}}-1) \end{eqnarray*}$ , indem Sie den Term mit einem Differenzenquotienten gleichsetzen.

Ich habe mir überlegt, dass bei der Integralberechnung ja eigendlich nichts anderes stattfindet als:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{a^{\frac{1}{n}}} log(x)dx + \int_{a^{\frac{2}{n}}}^{a^{\frac{3}{n}}} log(x)dx + ... + \int_{a^{\frac{k-1}{n}}}^{a} log(x)dx \end{eqnarray*}$ .
Ich weis aber nicht warum jetzt hier der Grenzwert gefordert ist...

aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty} n(a^{\frac{1}{n}}-1)= log(a) \end{eqnarray*}$

Wie muss ich denn jetzt vorgehen?

Liebe Grüße Augenzwinkern

Shelly

18.09.2013, 10:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Theend9219 (leicht korrigiert)
Ich habe mir überlegt, dass bei der Integralberechnung ja eigendlich nichts anderes stattfindet als:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{a^{\frac{1}{n}}} log(x)dx + \int_{a^{\frac{1}{n}}}^{a^{\frac{2}{n}}} log(x)dx + ... + \int_{a^{\frac{n-1}{n}}}^{a} log(x)dx \end{eqnarray*}$ .

Das ist ja "nur" wieder das Ausgangsintegral. Wie lauten zu dieser Intervallzerlegung die zugehörigen Riemannschen Unter- und Obersummen? Darum geht es ja schließlich in dieser Aufgabe!

Zur Erinnerung: Salopp gesagt sind das Summen von Rechteckflächen, die unterhalb bzw. oberhalb der Funktionskurve verlaufen.

Zitat:

Original von Theend9219
Ich weis aber nicht warum jetzt hier der Grenzwert gefordert ist...

Ein Schritt nach dem anderen: Stelle doch erstmal diese Riemannschen Summen auf, dann wirst du schon sehen, warum dieser Grenzwert hier eine Rolle spielt! Es gibt eben Tipps, die erst ihre Wirkung entfalten, wenn die Rechnung im Gange ist. Augenzwinkern

EDIT: Ich muss dir jetzt doch zustimmen, dass der Tipp einigermaßen rätselhaft ist. Geht es wirklich um die Riemannsummen des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_1^a \log(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ und nicht doch eher um die von $\begin{eqnarray*} \int_1^a \frac{1}{x} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Bei letzterem wäre der Sinn des Tipps nämlich viel eher einleuchtend.

18.09.2013, 11:18

Theend9219

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Hey HAL 9000 Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Antwort.

Also die Riemannsche Summe ist definiert als:

$\begin{eqnarray*} \sum_{kk=1}^{n} f(\xi_{k}) \cdot (x_{k}-x_{k-1})= \sum_{k=1}^{n} f(\xi_{k}) \Delta x_{k} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \xi_{k} \end{eqnarray*}$ gerade die k-te Zwischenpunktzahl ist.

Und in meinem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{a} log(\xi_{k}) \cdot (x_{k}-x_{k-1})= log(\xi_{1}) \cdot (a ^{\frac{1}{n}} - 1)+ log(\xi_{2}) \cdot (a ^{\frac{2}{n}} - a^{\frac{1}{n}})+ \cdot \cdot \cdot + log(\xi_{a}) \cdot (a - a^{\frac{k-1}{n}}) \end{eqnarray*}$ .
Und nun?
Edit: Es geht um die Riemann-Summen des Integrals... Möchtest du den Link der Aufgabe?
Liebe Grüße

18.09.2013, 11:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Theend9219
Möchtest du den Link der Aufgabe?

Nein. Ich möchte darauf vertrauen, dass alle notwendigen Angaben hier im Thread gemacht werden und nicht erst irgendwo nachgelesen werden müssen. Augenzwinkern

Du hast das recht allgemein gefasst mit den Riemannschen Summen. Ich denke mal, es soll konkret um die Riemannschen Unter- und Obersummen dieses Integrals bei der vorgegebenen Intervallzerlegung gehen - diese Summen kann man schließlich explizit ausrechnen!

18.09.2013, 11:37

Theend9219

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Hey

Danke für deine Antwort.
Also speziell bei den Ober-bzw Untersummen muss man ja mit dem Supremum bzw- Infimum arbeiten.
Das Infimum wäre in meinem Fall 1 und das supremum das a.
Mit $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ bezeichne ich meine Zerlgung. Und mit $\begin{eqnarray*} O(Z) \end{eqnarray*}$ die Obersumme.
$\begin{eqnarray*} O(Z) := \sum_{k=1}^{a} (x_{k}-x_{k-1}) \cdot sup f(x) = \sum_{k=1}^{a} (x_{k}-x_{k-1}) \cdot f(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U(Z) := \sum_{k=1}^{a} (x_{k}-x_{k-1}) \cdot inf f(x) = \sum_{k=1}^{a} (x_{k}-x_{k-1}) \cdot f(1) \end{eqnarray*}$

Ist dieser Ansatz korrekt?

Liebe Grüüße

18.09.2013, 13:08

HAL 9000

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Wenig sinnvoll, was da bei dir jeweils rechts steht, denn dann käme ja unabhängig von der Intervallaufteilung immer

$\begin{eqnarray*} O(Z) = (a-1) \cdot f(a) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U(Z) = (a-1) \cdot f(1) \end{eqnarray*}$

heraus. unglücklich

Supremum und Infimum werden natürlich jeweils teilintervallweise betrachtet, nicht auf das Gesamtintervall $\begin{eqnarray*} [1,a] \end{eqnarray*}$ bezogen!!!

18.09.2013, 14:38

Theend9219

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Oh stimmt....

Danke für deinen Hinweis..

Ich betrachte dann jetzt einmal die Teilintervalle. Wobei es mir mit den Intervallgrenzen schwerfällt. Ich unterteile das Intervall erst einmal wie folgt:

$\begin{eqnarray*} O(Z) = \sum_{k= a^{\frac{2}{n}}}^{a^{\frac{k-1}{n}}} (x_{n} - x_{k-1}) \cdot sup f(x) = (a^{\frac{2}{n}}-a^{\frac{1}{n}}) \cdot f(a^{\frac{2}{n}}) + . . . + (a^{\frac{k-1}{n}}-a^{\frac{k-2}{n}}) \cdot f(a^{\frac{k-1}{n}}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} U(Z) = \sum_{k= a^{\frac{2}{n}}}^{a^{\frac{k-1}{n}}} (x_{n} - x_{k-1}) \cdot inf f(x) = (a^{\frac{2}{n}}-a^{\frac{1}{n}}) \cdot f(a^{\frac{1}{n}}) + . . . + (a^{\frac{k-1}{n}}-a^{\frac{k-2}{n}}) \cdot f(a^{\frac{k-2}{n}}) \end{eqnarray*}$

Ungefaer so?

Liebe Grüße

18.09.2013, 15:18

HAL 9000

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Deine Summationsgrenzen sind aber stark daneben: Summationsindex $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist immer ganzzahlig, und es wird immer von $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ summiert.

Mit Abkürzung $\begin{eqnarray*} b=a^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} x_k = b^k \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} O(Z) := \sum_{k=1}^n \left( x_{k}-x_{k-1} \right) \cdot \sup\limits_{x\in[x_{k-1},x_k]} f(x) = \sum_{k=1}^n \left( b^{k}-b^{k-1} \right) \log\left( b^{k} \right) = (b-1)\log(b)\cdot \sum_{k=1}^n kb^{k-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U(Z) &:=& \sum_{k=1}^n \left( x_{k}-x_{k-1} \right) \cdot \inf\limits_{x\in[x_{k-1},x_k]} f(x) = \sum_{k=1}^n \left( b^{k}-b^{k-1} \right) \log\left( b^{k-1} \right)\\ &=& (b-1)\log(b)\cdot \sum_{k=1}^n (k-1)b^{k-1} = (b-1)\log(b)\cdot \sum_{k=0}^{n-1} kb^k \end{eqnarray*}$

Im Anschluss kann man sich um die weitere Vereinfachung der Summen rechts kümmern - dabei hilft die (z.B. per vollständiger Induktion beweisbare) Summenformel $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n kb^k = b\frac{1 - (n+1)b^n + nb^{n+1}}{(b-1)^2} \end{eqnarray*}$ .

18.09.2013, 16:08

Theend9219

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Danke für deine Hinweise.. Obwohl mir nicht in den Kopf kommt, wo du diese Gleichung jetzt hergezaubert hast Augenzwinkern

Dann stütze ich mich mal auf die vollständige Induktion:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} kb^{k} = b \cdot \frac{1-(n+1)b^{n}+nb^{n+1}}{(b-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

IA: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = b \cdot \frac{(1-(2)b+b^{2}}{(b-1)^{2}} = b \cdot \frac{(b-1)^{2}}{(b-1)^{2}} = b \end{eqnarray*}$

IB: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} (n+1)b^{n+1} = b \cdot \frac{1-(n+2)b^{n+1} +(n+1)b^{n+2}}{(b-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

IS: $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} = (n+1)b^{n+1} + \sum_{k=1}^{n} kb^{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (n+1)b^{n+1} + b \cdot \frac{1-(n+1)b^{n}+nb^{n+1}}{(b-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(b-1)^{2} \cdot (n+1)b^{n+1}}{(b-1)^{2}} + \frac{(-n-1)b^{n+1} +nb^{n+2}+b}{(b-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =b \cdot \frac{-nb^{n+1} -2b^{n+1} +nb^{n+2}+ b^{n+2}+1}{(b-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = b \cdot \frac{1-(n+2)b^{n+1} +(n+1)b^{n+2}}{(b-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Und das ist nach Induktionsbehauptung richtig.

20.09.2013, 17:25

Theend9219

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Hey,
kann mir jemand vielleicht weiter helfen?

Liebe Grüüße Shelly Augenzwinkern

20.09.2013, 17:37

HAL 9000

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Ich dachte, es wäre klar, wie es weitergeht!

Du kannst jetzt die Summenformel in $\begin{eqnarray*} O(Z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U(Z) \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhältst dann eine "summensymbolfreie" Darstellung dieser Ober- und Untersumme. Und dann kannst du zum Grenzwert $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ übergehen, wobei sich dann die Kenntnis des Grenzwertes

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty} n\left( a^{\frac{1}{n}}-1 \right) \end{eqnarray*}$

als hilfreich erweist, der Hinweis in der Aufgabenstellung ist also doch ganz nützlich (hatte ich oben noch nicht so erkannt, als ich meine Zweifel äußerte Augenzwinkern

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