Kleine Wahrscheinlichkeitsrechnung

18.09.2013, 15:47	MadCookieMonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleine Wahrscheinlichkeitsrechnung Hallo ich bin es schon wieder :P Habe hier eine Aufgabe von der ich erst dachte sie sei trivial aber beim 2. Nachdenken irgendwie zu dem Entschluss gekommen, dass die Aufgabe noch was mehr beinhaltet. Aufgabe: In einem bestimmten Gebiet habe im Durchschnitt 1 von 2000 Häuser jährlich einen Brand. Wenn 4000 Häuser in diesem Gebiet sind, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 Häuser im Vorlauf des Jahres einen Brand haben? Ansatz: Wenn ich die Anzahl der Häuser verdoppel sollten ja auch im Schnitt doppelt so viele Häuser brennen. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit das ein Haus in dem Gebiet brennt liegt immer noch bei 1/2000. Für die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Häuser im Vorlauf des Jahres brennen hab ich einfach nur $\begin{eqnarray} (\frac{1}{2000})^{5} \end{eqnarray}$ Aber das kann ja irgendwie nicht richtig sein. Das wäre ja quasi mit Zurücklegen. Welches ist das richtige Modell, dass ich hier verwenden muss? Hab gerade irgendwie ein Brett vorm Kopf. Gruß MCM
18.09.2013, 15:51	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleine Wahrscheinlichkeitsrechnung Bei Durchschnittswerten kann man auch von Zurücklegen ausgehen. Trotzdem ist die Lösung falsch, hier muss die Binomialverteilung her.
18.09.2013, 16:14	MadCookieMonster	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke für den Hinweis. Wenn ich richtig in die Formel eingesetzt habe komme ich auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4000 \\ 5 \end{pmatrix} (\frac{1}{2000})^5 (1-\frac{1}{2000})^{4000-5} = 0.036 \end{eqnarray}$ Also 3,6%? MCM
18.09.2013, 16:25	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe es nicht nachgerechnet, aber es stimmt.
18.09.2013, 16:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Denkbar wäre hier auch die für sehr große $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und sehr kleine $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ anwendbare Approximation $\begin{eqnarray} B(n,p)\approx \operatorname{Poisson}(\lambda) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda=np \end{eqnarray}$ gewesen. Hier ist dann $\begin{eqnarray} \lambda = 4000\cdot \frac{1}{2000} = 2 \end{eqnarray}$ , mit dem approximierten Wahrscheinlichkeitswert $\begin{eqnarray} P(X=5) = \frac{\lambda^5}{5!} e^{-\lambda} = \frac{32}{120} e^{-2} \approx 0.03609 \end{eqnarray}$ verglichen mit dem obigen (mit Binomialverteilung erzielten) Originalwert $\begin{eqnarray} 0.03607 \end{eqnarray}$ also eine ganz gute Näherung. Ist natürlich erst dann wirklich wichtig, wenn die Binomialkoeffizienten irgendwann zu groß werden.

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