Beweise von Mengen

18.09.2013, 15:55

00Domi00

Beweise von Mengen

Hallo,

Ich besuche gerade den Vorkurs für Mathe an meiner Uni und habe eine Hausaufgabe bekommen die ich nicht verstehe. Ich soll zeigen das:
$\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C <=> A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$

Um das zu verdeutlichen habe ich noch folgende Zeichnung:
[attach]31500[/attach]

Als Ansatz haben wir bekommen:
Wir sollen erst mal Zeigen das:
$\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C => A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C \end{eqnarray*}$
folgen soll, haben ich $\begin{eqnarray*} A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ als Voraussetzung.

Um dann zu zeigen das $\begin{eqnarray*} A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ ist, sollen wir Zeigen das $\begin{eqnarray*} A \cup C \end{eqnarray*}$ einen Teilmenge von $\begin{eqnarray*} B \cup C \end{eqnarray*}$ ist und andersherum. Das ist mir auch verständlich, weil wenn etwas eine Teilmenge von etwas andern ist und andersherum dann muss es gleich sein.
Als nächstes haben wir bekommen:
Das $\begin{eqnarray*} A \cup C \subseteq B \cup C \end{eqnarray*}$ äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} x \in A \cup C \Rightarrow x \in B\cup C \end{eqnarray*}$ . Bis hier hin habe ich denke ich noch alles Verstanden, weil wenn x in $\begin{eqnarray*} A \cup C \end{eqnarray*}$ ist und x auch in $\begin{eqnarray*} B \cup C \end{eqnarray*}$ drin ist muss A und C eine Teilmenge von B und C sein.

Die nächste Zeile ist dann $\begin{eqnarray*} x \in A \cup C \Rightarrow x \in A \backslash C \vee x \in C \end{eqnarray*}$ . Das die Zeile richtig sein muss konnte ich mir anhand der Zeichnung klar gemacht. Ich meine wenn x in $\begin{eqnarray*} A \cup C \end{eqnarray*}$ ist dann muss es auch in A ohne oder in C sein. Aber ich verstehe nicht wie sie Zeigen soll das $\begin{eqnarray*} A \cup C \subseteq B \cup C \end{eqnarray*}$ ist.

18.09.2013, 16:03

watcher

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Hallo,

sprachliches vorweg:

Mengen werden nicht bewiesen, Aussagen werden bewiesen.
Und ein Beweis hat nichts mit der (Nicht-)Farbe Weiß zu schaffen.

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C \end{eqnarray*}$ folgen soll, haben ich $\begin{eqnarray*} A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ als Voraussetzung.

Nein, A\C=B\C ist die Voraussetzung.

Was du beim Rest machst kann ich nicht nachvollziehen.

18.09.2013, 16:19

00Domi00

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Ok du hast recht bei Voraussetzung sollte eigentlich A\C=B\C stehen. So wie ich das verstanden habe, soll ich wenn ich zeigen soll das $\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C <=> A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ ist, erstmal zeigen das $\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C => A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ und dann das $\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C <= A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ . Um zu zeigen das $\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C => A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ gilt. Habe ich die danach folgenden Zeilen bekommen.

18.09.2013, 16:25

watcher

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Zitat:

erstmal zeigen das $\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C => A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ und dann das $\begin{eqnarray*} A \backslash C = B \backslash C <= A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ .

Die Reihenfolge ist irrelevant.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \in A \cup C \Rightarrow x \in A \backslash C \vee x \in C \end{eqnarray*}$

ist ein Beweis für $\begin{eqnarray*} A\cup C \subseteq (A\backslash C )\cup C \end{eqnarray*}$

Wende darauf die Voraussetzung an.

18.09.2013, 16:52

00Domi00

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Aber das A und C zusammen das gleich sind wie A ohne C + C ist klar.Ich meine wenn ich Beispielhaft A ={1,2,4,5} und B ={1,2,3,4,5,6,7} und C={5,6,7,8} habe sind A und C ={1,2,3,4,5,6,7} und A ohne C = { 1,2,3,4} und wenn ich dann + C mache bin ich wieder bei ={1,2,3,4,5,6,7}. Das ist mir klar weil ich die Zeichnung gesehen habe und weil es so für mich logisch ist. Aber wie komm ich dann auf das $\begin{eqnarray*} x \in A \cup C => x \in A \backslash C \vee x \in C \end{eqnarray*}$ ? Welche Überlegungen muss ich da machen?

18.09.2013, 16:57

watcher

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Zitat:

Dir ist offensichtlich gar nichts klar.
Man kann keine Mengen addieren, höchstens vereinigen.
Beispiele beweisen gar nichts. Was bedeutet +C hier für dich. Die Vereinigung kann es nicht sein, da käme was anderes raus.
Zeichnungen beweisen auch nichts. Die sind wie Beispiele nette Hilfsmittel für die Vorstellung mehr aber auch nicht.

Zitat:

Aber wie komm ich dann auf das $\begin{eqnarray*} x \in A \cup C => x \in A \backslash C \vee x \in C \end{eqnarray*}$ ?

Durch Verwendung logischer Schlüsse und Definitionen, auch bekannt als mathematischer Beweis.

P.S. Danke an denjenigen (Mod?) der die Überschrift ausgebessert hat.

18.09.2013, 17:06

00Domi00

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mit +C habe ich vereinigen gemeint und es kommt dann bei meinem Beispiel für $\begin{eqnarray*} A \cup C \end{eqnarray*}$ ={1,2,3,4,5,6,7,8} und bei $\begin{eqnarray*} (A \backslash C ) \cup C \end{eqnarray*}$ auch {1,2,3,4,5,6,7,8}.

Edit: Wenn ich dann um zu zeigen das $\begin{eqnarray*} A \cup C = B \cup C \end{eqnarray*}$ gilt, auch noch zeigen möchte das B vereinigt C eine Teilmenge von A vereinigt C ist ( $\begin{eqnarray*} B\cup C \subseteq A \cup C \end{eqnarray*}$ ).
Wäre es dann korrekt wenn ich sagen würde das
$\begin{eqnarray*} B\cup C \subseteq A \cup C \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x \in B \cup C \Rightarrow x \in A \cup C \end{eqnarray*}$ . Und dann kann ich sagen das $\begin{eqnarray*} x \in B\cup C \Rightarrow x \in B \backslash \vee x \in C \end{eqnarray*}$ der Beweis dazu ist?

18.09.2013, 17:25

watcher

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Zitat:

ich sagen würde das $\begin{eqnarray*} B\cup C \subseteq A \cup C \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x \in B \cup C \Rightarrow x \in A \cup C \end{eqnarray*}$ .

Die Aussage ist richtig.

Zitat:

Und dann kann ich sagen das $\begin{eqnarray*} x \in B\cup C \Rightarrow x \in B \backslash \vee x \in C \end{eqnarray*}$ der Beweis dazu ist?

Das ist kein Beweis, das ist eine Aussage. Wovon soll das überhaupt ein Beweis sein?

P.S. Muss jetzt Leuchtstoffröhren kaufen gehen. Wer übernehmen will, gerne.

18.09.2013, 17:44

00Domi00

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Aber warum ist dann $\begin{eqnarray*} x \in A\cup C\Rightarrow x \in A \backslash C \vee x\in C \end{eqnarray*}$ der Beweis für $\begin{eqnarray*} A \cup C \subseteq B \cup C \end{eqnarray*}$ ?

18.09.2013, 18:16

watcher

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Zitat:

Aber warum ist dann $\begin{eqnarray*} x \in A\cup C\Rightarrow x \in A \backslash C \vee x\in C \end{eqnarray*}$ der Beweis für $\begin{eqnarray*} A \cup C \subseteq B \cup C \end{eqnarray*}$ ?

Das ist er nicht. Wie kommst du denn zu dem Schluß?

Damit kann man $\begin{eqnarray*} A\cup C \subseteq (A\backslash C )\cup C \end{eqnarray*}$ (und zwar für beliebige Mengen A,C) beweisen, wie ich bereits in einem der vorigen Posts sagte.

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