Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete

18.09.2013, 15:17

Akureyri

Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete

Meine Frage:
Ich versuche diese Behauptung zu zeigen: Sei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Sterngebiet und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion. Dann sind äqulivalent:

I) $\begin{eqnarray*} f\in \mathcal H (U) \end{eqnarray*}$ .
II) f besitzt eine Stammfunktion in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
I) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ II): Aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist ein Sterngebiet und $\begin{eqnarray*} f\in \mathcal H (U) \end{eqnarray*}$ folgt laut dem Cauchy'schen Integralsatz für Sterngebiete, dass das Integral von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ längs jeder geschlossenen und in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ verlaufenden Kurve gleich 0 ist.

Das widerum ist äquivalent zu "f besitzt eine Stammfunktion".

II) $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ I): Wie schaffe ich das?

18.09.2013, 16:47

Che Netzer

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RE: Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete
Eine Stammfunktion kannst du sogar noch explizit angeben.

Und zur Umkehrung: Holomorphe Funktionen sind beliebig oft differenzierbar.

18.09.2013, 16:58

Akureyri

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RE: Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete
Danke, ja stimmt!

Zitat:

Original von Che Netzer
Eine Stammfunktion kannst du sogar noch explizit angeben.

Echt? Wie das?

18.09.2013, 17:09

Che Netzer

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Ihr habt sicher mal bewiesen, wann ein Vektorfeld ein Gradientenfeld ist. Da habt ihr vermutlich dieselbe Technik benutzt: Nimm dir einen "Mittelpunkt des Sterns" und integriere von da aus über Geradenstücke.

18.09.2013, 17:37

Akureyri

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Sei $\begin{eqnarray*} z_*\in U \end{eqnarray*}$ ein Sternmittelpunkt und $\begin{eqnarray*} z_0\in U \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann $\begin{eqnarray*} \exists \, B_r(z_0)\subset U \end{eqnarray*}$ . Sei weiter $\begin{eqnarray*} z \in B_r(z_0) \end{eqnarray*}$ . Dann liegt die durch $\begin{eqnarray*} z_*,z_0,z \end{eqnarray*}$ aufgespannte Dreiecksfläche ganz in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} F:U \to\mathbb C ,\ F(\zeta ):=\int_{z_*}^z \! f(\zeta ) \, \mathrm d\zeta \end{eqnarray*}$ .

Laut dem Cauchy'schen Integralsatz für Dreieckswege gilt dann $\begin{eqnarray*} \int_{z_*}^z \! f(\zeta ) \, \mathrm d\zeta + \int_{z}^{z_0} \! f(\zeta ) \, \mathrm d\zeta + \int_{z_0}^{z_*} \! f(\zeta ) \, \mathrm d\zeta =0 \end{eqnarray*}$ .

Aber dann verließen sie ihn verwirrt

18.09.2013, 17:46

Che Netzer

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Mit $\begin{eqnarray*} F(z) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} F(\zeta) \end{eqnarray*}$ stimmt die Angabe. Was machst du da drumherum?

18.09.2013, 21:02

Akureyri

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Achso ja stimmt $\begin{eqnarray*} F(z)=\int_{z_*}^z \! f(\zeta ) \, \mathrm d\zeta \end{eqnarray*}$ . Danke.

Darf ich fragen was du mit drum herum meinst?

18.09.2013, 21:07

Che Netzer

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Was die Sätze vor und nach dieser Angabe für ein Ziel hatten.

18.09.2013, 21:34

Akureyri

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Also im Großen und ganzen ist das Zentrum die folgende Aussage: $\begin{eqnarray*} \int_{\partial B_r(0)}\frac{1}{z}\mathrm dz\neq 0 \end{eqnarray*}$ , um was es in dem Kapitel geht.

19.09.2013, 06:23

Che Netzer

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Ja und?

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