Intervalle -> immer noch größere Zahl

18.09.2013, 20:23

mat1231

Intervalle -> immer noch größere Zahl

Meine Frage:
Hallo,

wenn man Intervalle der rellen Zahlen (vereinigt mit Unendlich) betrachtet. (Dahingestellt ob abgeschlossen offen etc). Oft wird in Beweisen dann folgendes verwendet:
$\begin{eqnarray*} a \in A \exists b \in A \end{eqnarray*}$
Folgt das aus einem Axiom? Gibt es dazu einen Beweis?
Achja und könnte man auch sagen:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in A \exists b \in A \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich denke man könnte das mit einer Intervallschachtelung zeigen. Oder es ist eben ein Axiom bzw. ein direktes Korollar daraus.

18.09.2013, 20:33

Che Netzer

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RE: Intervalle -> immer noch größere Zahl

Zitat:

Original von mat1231
Hallo,

wenn man Intervalle der rellen Zahlen (vereinigt mit Unendlich) betrachtet.

Und wenn man sie nicht betrachtet, dann kein "Hallo"?

Zitat:

Oft wird in Beweisen dann folgendes verwendet:
$\begin{eqnarray*} a \in A \exists b \in A \end{eqnarray*}$

Das ergibt keinen Sinn.

Zitat:

Achja und könnte man auch sagen:
$\begin{eqnarray*} \forall a \in A \exists b \in A \end{eqnarray*}$

Das ergibt ebenfalls keinen Sinn, ist aber näher an etwas Sinnvollem als ersteres.
Was genau hast du in den Beweisen denn so oft beobachtet?

19.09.2013, 08:24

mat1231

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RE: Intervalle -> immer noch größere Zahl
Hi,

gibts diesmal auch ohne die (falsche) Behauptung Augenzwinkern

Ich hab das wahrscheinlich falsch formuliert. Ich versuch es mal etwas ausführlicher zu machen, vllt. wird dann klar was ich meine. Sagen wir du hast folgendes Intervall:
$\begin{eqnarray*} B=]a, \infty [ \end{eqnarray*}$ Und nun gibst du ein beliebiges Element in diesem Intervall vor: $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ Dann behaupt ich, dass ich IMMER ein Element $\begin{eqnarray*} c \in B \end{eqnarray*}$ finde für das gilt $\begin{eqnarray*} b < c \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Und wenn ja ist das beweisbar?

19.09.2013, 09:26

Che Netzer

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RE: Intervalle -> immer noch größere Zahl
Wähle $\begin{eqnarray*} c:=b+1 \end{eqnarray*}$ .
Die Aussage stimmt aber nur für "nach rechts/oben offene Intervalle" (was ja schon recht einleuchtend klingt). Wäre $\begin{eqnarray*} B=[a_1,a_2] \end{eqnarray*}$ und würde man $\begin{eqnarray*} b:=a_2 \end{eqnarray*}$ verwenden, gäbe es kein $\begin{eqnarray*} c\in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c>b \end{eqnarray*}$ .
Die Aussage für $\begin{eqnarray*} B=[a_1,a_2) \end{eqnarray*}$ zu beweisen kannst du ja kurz selbst versuchen.

Edit: Die Formulierung aus deinem letzten Beitrag ist übrigens schön; insbesondere viel hübscher als die Quantorenschreibweise. Versuch letztere in Fließtexten zu vermeiden.

19.09.2013, 09:53

mat1231

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RE: Intervalle -> immer noch größere Zahl
Ich hätte zum Beweis eine Idee, ich hoffe ich mach es mir nicht zu leicht.
Wenn ich mich nicht Täusche kann man das ganze so streng formulieren:
Sei $\begin{eqnarray*} B=\left(\infty ,a\right) \end{eqnarray*}$
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} b\in B \Rightarrow \exists c\in B : b < c \end{eqnarray*}$
Angenommen die Implikation wäre falsch. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \forall c\in B : b\geq c \end{eqnarray*}$
Damit wäre aber b eine obere Schranke von B.

Damit gilt:
$\begin{eqnarray*} b \geq sup(B) \end{eqnarray*}$ Da bekanntermaßen das Supremum
eines offenen Intervalls gehört nicht zur Menge.
Dies wäre aber ein Widerspruch zur Voraussetzung $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$

19.09.2013, 09:55

Che Netzer

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RE: Intervalle -> immer noch größere Zahl
Du meinst sicher $\begin{eqnarray*} B=(-\infty,a) \end{eqnarray*}$ .
Naja, so ginge es auch, du kannst aber einfach $\begin{eqnarray*} c:=\frac{b+a}2 \end{eqnarray*}$ wählen.

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