Ergodensatz / Gesetz der großen Zahlen

18.09.2013, 22:46	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Ergodensatz / Gesetz der großen Zahlen Hallo Freunde, ich würde gerne zeigen, dass für $\begin{eqnarray} \|\beta\| < 1 \end{eqnarray}$ und für eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} (X_k)_{k \in \mathbb{N}_0} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathcal{L}^1 \end{eqnarray}$ die Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k = 1}^n \beta^k X_k \end{eqnarray}$ fast sicher konvergiert. Ach ja: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(X_k) \in (-1,1) \end{eqnarray}$ , ist also keine iid-Folge! Grenzwert egal, hauptsache konvergent. Hat jemand vielleicht ne Idee? Vielen Dank...
18.09.2013, 22:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Voraussetzungen an die Varianz der Zufallsgrößen? Ich würde bezweifeln, dass die Behauptung mit diesen deinen Voraussetzungen stimmt: Ich denke da z.B. an die Folge von Zweipunktverteilungen $\begin{eqnarray} P(X_k=-2^k) = P(X_k=2^k) = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , da konvergiert $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n \beta^k X_k(\omega) \end{eqnarray}$ im Fall $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} < \beta < 1 \end{eqnarray}$ für kein einziges $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ .
19.09.2013, 02:23	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Tolles Gegenbeispiel. Vielen Dank dafür! Ich hab inzwischen auch selbst ein wenig weiter recherchiert und ich hab ein Lemma gefunden das mir weiterhilft, allerdings braucht man wie du sagst 2. Momente und ohne Verteilungsannahme geht es auch nicht. Aber dann kann man setzen: $\begin{eqnarray} Y_k := \beta^k (X_k - \mathbb{E}(X_k)) \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(Y_k) = 0, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mbox{Var}(X_k) = \beta^{2k} \mbox{Var}(X_k) \end{eqnarray}$ . Dann besagt das Lemma, dass unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray} \sum_{k = 1}^\infty \mbox{Var}(Y_k) < \infty \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable S existiert mit: $\begin{eqnarray} \sum_{k = 1}^n Y_k \longrightarrow S, ~ \mbox{f.s.} \end{eqnarray}$ Hier der Link zum Lemma, falls es jemanden interessiert: Lemma 5.3 Vielen Dank nochmal, für deine Hilfe...

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