Komplexe Zahlen

19.09.2013, 16:32

Lipton

Komplexe Zahlen

Meine Frage:
ich soll die folgenden komplexen Zahlen in der Form a+ib bestimmen
a) $\begin{eqnarray*} z^4=4 \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \vec{z²} =i \end{eqnarray*}$ (wobei der pfeil hier negiert heißt)

Meine Ideen:
bei der a) hab ich folgende Lösung raus
$\begin{eqnarray*} z_1 = \sqrt{2} , z_2 = -\sqrt{2} , z_3= \sqrt{2}i , z_4 = - \sqrt{2}i \end{eqnarray*}$

Stimmt das so überhaupt oder stimmt die Darstellung so nicht?

Bei der b bin ich mir auch unsicher, ich weiß nicht ob ich mit $\begin{eqnarray*} \vec{z²} =i \end{eqnarray*}$ rechnen soll oder mit $\begin{eqnarray*} z²=-i \end{eqnarray*}$

Ich bekomm dann am Ende $\begin{eqnarray*} z= \sqrt{i} => \sqrt[4]{-1} \end{eqnarray*}$ Kann ich das denn so rechnen oder muss ich es erst mal in Polarkoordinaten umrechnen?

19.09.2013, 16:43

Stefan03

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Hi,

also die a) stimmt.

Bei der b) schauts komisch aus... $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ gibts jedenfalls nicht... Und was meinst du mir negiert?!? Meinst du vllt. die komplex konjugierte?

Sprich, $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ Was ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$ ? Und was ist dann $\begin{eqnarray*} \overline{z}^2 \end{eqnarray*}$ Und dann sollte lösbar sein

19.09.2013, 16:54

Lipton

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also wenn die konjugierte z = i ist muss die normale ja z = -i sein- Wenn jetzt z² = -i ist ist ja die Wurzel da draus dann $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{-i} \end{eqnarray*}$ und wie kann ich das dann in die Form a+ib bringen?

20.09.2013, 08:15

klarsoweit

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Lies hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Wurzeln

21.09.2013, 21:19

Lipton

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also ich bin jetzt so vorgegangen, -i liegt ja auf 270° wenn ich mich nicht täusche. Dann hab ich mir $\begin{eqnarray*} z_1 = e^{i\pi135°} z_2 = e^{i\pi270°} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und dann eingesetzt und mir angeschaut wo die Werte im Einheitskreis liegen.
Raus kam: $\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{- \sqrt{2}} {2} + \frac{\sqrt{2} }{2} i , z_2 = \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$ ich hoffe das stimmt so

23.09.2013, 09:13

Steffen Bühler

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Du meinst wahrscheinlich dasr Richtige.

Zitat:

Original von Lipton
-i liegt ja auf 270°

So ist es.

Zitat:

Original von Lipton
$\begin{eqnarray*} z_1 = e^{i\pi135°} z_2 = e^{i\pi270°} \end{eqnarray*}$

Was soll das pi da? Das müsste da weg, dann stimmt zumindest z1. Der andere Wert allerdings kann ja nicht 270° haben, nicht wahr?

Zitat:

Original von Lipton
Raus kam: $\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{- \sqrt{2}} {2} + \frac{\sqrt{2} }{2} i , z_2 = \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{2} \end{eqnarray*}$

Das ist dann völlig richtig, allerdings fehlt ein i bei z2.

Viele Grüße
Steffen

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