Berechnung Erwartungswert Exponentialverteilung |
| 19.09.2013, 17:02 | Taube83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Berechnung Erwartungswert Exponentialverteilung Ich habe die folgende Aufgabe und einen Lösungsansatz. Bin mir aber nicht ganz sicher, ob der Ansatz und die Berechnung stimmem: Für eine Butterfahrt nehmen zwölf Vereinsmitglieder einen Bus. Der Fahrer ist froh, endlich einmal wieder fachsimpeln zu können, und erzählt: ?Busse wie dieser hier sind sehr verbreitet; es ist bekannt, dass 90 % dieses Typs eine Lebensdauer von mehr als 10 Jahren haben.? Die Ausflügler beruhigt diese Aussage nicht sehr, denn sie wissen, dass die Lebensdauer solcher Busse als exponentialverteilte Zufallsgröße aufzufassen ist. a) Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Lebensdauer dieses Bus-typs. b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt ein zufällig ausgewählter Bus dieses Typs mindestens fünf Jahre intakt? Vielen Dank im Voraus fürs ansehen! Meine Ideen: Da nur Gegenwart und Zukunft bei dieser Aufgabe Betrachtung finden, ist die Funktion nichtnegativ. Dies bedeutet, es werden nur positive Werte berücksichtigt. Die allgemeine Dichtefunktion eines exponential verteilten Parameters a lässt sich wie folgt beschreiben: f(x)= a*e^(-ax) für x>=0 und f(x)=0 für x<0 (wird nicht berücksichtigt) Der Erwartungswert ist wie folgt bei stetige Exponentialverteilungen allgemein definiert: EX= 1/a Nun ist a zu berechnen. Folgende Wahrscheinlichkeit ist gegeben: P(x>10) = 0,9 Der Bus hat eine Wahrscheinlichkeit von P = 0,9 nach 10 Jahren weiterhin zu funktionieren. P1(x<=10)= 0,1 Allgemein gilt: P(X<=x)= 1- e^(-ax) für x>=0 Eingesetzt bedeutet dies: 0,1= 1-e^(-a*10) <=> 0,9 = e^(-a*10) <=> ln(0,9) = ln(e^(-a*10)) <=> ln(0,9) = -a*10 <=> 0,01504 = a Der Erwartungswert kann durch Einsetzen nun wie folgt berechnet werden: EX = 1/0,01504 = 94,91 Der Erwartungswert für die Lebensdauer des Busses beträgt 94,91 Jahre. Aufgabenteil b) Gesucht ist P(x>=5) = 1-(X<=5) Aus folgender Formel P(x>=5) = 1- P(x<=5) und Einsetzen in P(X<=x)= 1- e^(-ax) für x>=0 ergibt sich 1- P(X<=5) = 1-e^(-a*5) <=> P(X>=5) = e^(-a*5) Einsetzen von a aus Aufgabenteil a) <=> P(X>=5) = e^(-0,01504*5) <=> P(X>=5) 0,9276 Ein zufällig ausgewählter Typ dieses Busses bleibt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9276 oder 92,76 % mindestens 5 Jahre intakt. |
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| 20.09.2013, 12:57 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, prinzipiell stimme ich deinem Vorgehen zu.
Wenn ich aber die erste zitierte Zeile nach a auflöse, dann kommt bei mir heraus. Du scheinst hier irgendwie zwei Ziffern vertauscht zu haben.
Und Die 94,91 Jahre stimmen allerdings. Grüße. |
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| 23.09.2013, 15:24 | Taube83 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Kasen75, zunächst erst einmal danke für deine Antowort. Bei mir war ein Zahlendreher drin. Deine Zahl für a stimmte! Nun zu b) Stimmt der Weg mit der berichtigen Zahl für a? Gesucht ist P(x>=5) = 1-(X<=5) Aus folgender Formel P(x>=5) = 1- P(x<=5) und Einsetzen in P(X<=x)= 1- e^(-ax) für x>=0 ergibt sich 1- P(X<=5) = 1-e^(-a*5) <=> P(X>=5) = e^(-a*5) Einsetzen von a aus Aufgabenteil a) <=> P(X>=5) = e^(-0,01054*5) <=> P(X>=5) 0,9487 Ein zufällig ausgewählter Typ dieses Busses bleibt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9487 oder 94,87 % mindestens 5 Jahre intakt. |
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| 23.09.2013, 15:39 | Kasen75 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es stimmt der Weg und das Ergebnis. 
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