Eigenwerte AX = XB

19.09.2013, 17:04	Tom-94	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte AX = XB Meine Frage: Aufgabe ist: Seien A,B element M(n,C), wobei B diagonalisierbar ist. Zeigen Sie, dass wenn A und B keine gemeinsamen Eigenwerte besitzen, dann besitzt die Matrixgleichung AX = XB , X element M(n,C) nur die Nullmatrix als Lösung. Meine Ideen: also da B diagonalisierbar ist gilt: a) charakteristisches Polynom zerfällt in Linearfaktoren (in C immer der Fall) b)geometrische Vielfachheit ist gleich der algebraischen Vielfachheit der Eigenwerte c) Minimalpolynom zerfällt in lauter verschiedene Linearfaktoren d) Diagonalmatrix D = S^{-1}BS und somit B = SDS^{-1} wenn A und B keine gemeinsamen Eigenwerte besitzen, dann gilt Xa( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ) = (x- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1)^a1 * ... * (x- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ n)^an ist charakteristisches Polynom von A Xb( $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ) = (x- $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ 1)^b1 * ... * (x- $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ n)^bn ist charakteristisches Polynom von B. Hierbei gilt: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ .... $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ n $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ 1 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ n (die Zahlen hinter lambda und pi sind index) doch wie mach ich jetzt weiter?
19.09.2013, 17:06	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm eine Basis aus Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und wende beiden Seiten der Gleichung $\begin{eqnarray} AX=XB \end{eqnarray}$ auf diese Eigenvektoren an, bzw. rechne folgende Rechnung weiter: $\begin{eqnarray} 0 = (AX-XB)v_i = ... \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} v_1, \dotsc, v_n \end{eqnarray}$ die Basis aus Eigenvektoren ist.
19.09.2013, 17:20	tom-94	Auf diesen Beitrag antworten »
aah das macht sinn! nur wie finde ich hier eine basis aus eigenvektoren? ich kann ja ohne feste Angaben keine eigenräume/ eigenvektoren berechnen ?
19.09.2013, 18:31	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
[Ohne mich einmischen zu wollen:] Falls sich jemand für eine allgemeine Version interessiert (Achtung an den Fragesteller: Für dich noch zu allgemein): Sind $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ zwei (komplexe) Banach-Räume und $\begin{eqnarray} S\in L(E) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} T\in L(F) \end{eqnarray}$ , so besagt das Korollar von Rosenblum (Rosenblum's Corollary), dass die Gleichung $\begin{eqnarray} SX-XT=Z \end{eqnarray}$ für jeden Operator $\begin{eqnarray} Z\in L(F,E) \end{eqnarray}$ genau eine Lösung $\begin{eqnarray} X\in L(F,E) \end{eqnarray}$ hat, falls $\begin{eqnarray} \sigma(S)\cap\sigma(T)=\emptyset \end{eqnarray}$ . Zum Beweis: Man definiert $\begin{eqnarray} \mathcal S\in L(L(F,E)) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathcal SX:=SX \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} S-\lambda \end{eqnarray}$ invertierbar, so auch $\begin{eqnarray} \mathcal S-\lambda \end{eqnarray}$ mit der Inversen $\begin{eqnarray} X\mapsto(S-\lambda)^{-1}X \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \sigma(\mathcal S)\subset\sigma(S) \end{eqnarray}$ . Analog definiert und behandelt man $\begin{eqnarray} \mathcal T \end{eqnarray}$ . Nach dem spektralen Abbildungssatz (für Polynome in mehreren, kommutierenden Variablen) ist $\begin{eqnarray} \sigma(\mathcal S-\mathcal T)\subset\sigma(\mathcal S)-\sigma(\mathcal T)\subset\sigma(S)-\sigma(T) \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \mathcal S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathcal T \end{eqnarray}$ kommutieren offenbar. Insbesondere ist $\begin{eqnarray} \mathcal S-\mathcal T \end{eqnarray}$ invertierbar, woraus mit $\begin{eqnarray} (\mathcal S-\mathcal T)X=SX-XT \end{eqnarray}$ sofort die Behauptung folgt. In diesem Fall ist langweiligerweise $\begin{eqnarray} E=F=\mathbb C^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Z=0 \end{eqnarray}$ Aber zumindest sieht man, dass $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ nicht diagonalisierbar sein muss. PS: Die Darstellung der charakteristischen Polynome ist falsch.

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