Bedingte Wahrscheinlichkeit

01.03.2007, 23:25	Chris_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit Hallo! Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1,...,X_n \end{eqnarray}$ sind unabhängig und gleichverteilt auf $\begin{eqnarray} \left\{ {1,2,3} \right\} \end{eqnarray}$ . Außerdem ist: $\begin{eqnarray} S_i : = \sum\limits_{k = 1}^n {1\left\{ {X_k = i} \right\}} ;\left( {i = 1,2,3} \right) \end{eqnarray}$ Gezeigt werden soll: $\begin{eqnarray} P(S_1 = i\|S_1 + S_2 = k) = \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} \cdot\left( {\frac{1}{2}} \right)^k ;\left( {i = 0,1,...,k;k = 1,2,...,n} \right) \end{eqnarray}$ Wie soll ich dabei vorgehen? Danke im voraus. Gruß, Chris
02.03.2007, 06:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} S_i \end{eqnarray}$ sind einzeln betrachtet binomialverteilt $\begin{eqnarray} S_i\sim B\left( n, \frac{1}{3} \right) \end{eqnarray}$ , und gemeinsam betrachtet multinomialverteilt. Damit, nach vorheriger Anwendung der Bayesschen Formel lässt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen.
03.03.2007, 11:30	Chris_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arthur! Ich habe folgendes: $\begin{eqnarray} P\left( {S_1 = i\|S_1 + S_2 = k} \right) = \frac{{P(S_1 = i,S_2 = k - i)}}{{P(S_1 + S_2 = k)}} = \frac{{\left( \begin{gathered}n \hfill \\i \hfill \\ \end{gathered} \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right)^i \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - i} \cdot \left( \begin{gathered} n \hfill \\k - i \end{gathered} \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right)^{k - i} \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right)^{n - k + i} }}{{\left( \begin{gathered}2n \hfill \\k \hfill\end{gathered} \right) \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right)^k \cdot \left( {\frac{2}{3}} \right)^{2n - k} }} \end{eqnarray}$ Damit komme ich aber nicht zum angegebenen Ergebnis. Wo ist mein Fehler? Gruß, Chris
06.03.2007, 16:54	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz $\begin{eqnarray} P\left( {S_1 = i\|S_1 + S_2 = k} \right) = \frac{{P(S_1 = i,S_2 = k - i)}}{{P(S_1 + S_2 = k)}} \end{eqnarray}$ stimmt noch, aber ab dann sind eigentlich überal Fehler... Der Zähler der Zahlenrechnung ist total falsch, da multiplizierst du zwei Binomialverteilungswahrscheinlichkeiten, so als wären die beiden Ereignisse $\begin{eqnarray} S_1=i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_2=k-i \end{eqnarray}$ unabhängig - sind sie aber nicht! Ich habe aber oben schon gesagt, dass hier die Multinomialverteilung ran muss. Nächster Punkt, der Nenner: Hier liegt für die Summe $\begin{eqnarray} S_1+S_2 \end{eqnarray}$ die Verteilung $\begin{eqnarray} S_1+S_2\sim B\left( n, \frac{2}{3} \right) \end{eqnarray}$ vor. Bei dir steht $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ statt des richtigen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , und die beiden Exponenten hast du auch vertauscht...

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