Arcusfunktion als Logarithmus ableiten

Neue Frage »

Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »
Arcusfunktion als Logarithmus ableiten
Wink

Ich muss die Arkusfunktionen ableiten und zwar mit Hilfe der Darstellung als Logarithmus. Diese Darstellung ist dabei herzuleiten.

Fragen:

1.) Welche Darstellung ist gemeint?
2.) Wie leitet man diese her?

Ich hätte nun intuitiv an logarithmische Ableitung gedacht, d.h. dann:

Gegeben sei die Funktion
Gesucht ist die Ableitung
Dann ist
Es folgt:


Wäre das korrekt? Dann stoße ich nämlich auf das Problem dass beim ableiten von ln(arcsin(x)) mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung von arcsin(x) benötigt wird. Und die wird ja gesucht.. verwirrt
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arkusfunktion als Logarithmus ableiten?
Wink

Wäre das korrekt? ->ja

Die Ableitung ergibt sich unter Verwendung Ihrer Umkehrfunktion.

Es ist:





Weiter gilt:





So bekommst Du die Ableitung.

Diese setzt Du dann in der log. Differentation ein.

smile
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

ich vermute, Du sollst aus


die
Exponentialdarstellung des entwickeln, und aus dieser dann die Umkehrfunktion,
womit sich eine logarithmische Darstellung ergibt. Von der dann die Ableitung bilden.
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alterHund
ich vermute, Du sollst aus


die
Exponentialdarstellung des entwickeln, und aus dieser dann die Umkehrfunktion,
womit sich eine logarithmische Darstellung ergibt. Von der dann die Ableitung bilden.


Hallo,

ich vermute, dass du damit Recht hast smile

Nur leider komme ich nicht mehr weiter.
Durch umformen gelange ich zu folgendem Schritt:



Ich hoffe, das ist soweit schonmal richtig. Aber wie gehts weiter?
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

ja, richtig, nun nach x auflösen ( ersetzte sinx einfach mal durch y ), führt auf eine Quadratische Gleichung.
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

bin jetz weg, wahrscheinlich abends von 21:00 bis 22:00 nochmals online.
 
 
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alterHund
ja, richtig, nun nach x auflösen ( ersetzte sinx einfach mal durch y ), führt auf eine Quadratische Gleichung.


So, nun nochmal hallo.

Ich komme leider keinen Schritt voran. verwirrt

Ich bin so vorgegangen:

(mit y = sin(x)):


Quadrieren:

=>
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

mit e^(ix) multiplizieren statt quadrieren
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alterHund
mit e^(ix) multiplizieren statt quadrieren


/ * e^(ix)

=>


Ab hier jetzt mit quadratischer Gleichung fortfahren? Wenn ich wieder substituiere mit u = e^(ix) erhalte ich aber wieder ein Ergebnis, mit dem ich nicht gut weiterrechnen kann.. verwirrt
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

nun, nach lösen der Quadratischen Gleichung kommt dann logarithmieren ins Spiel
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

bist Das
http://matheraum.de/read?t=982179
auch Du?
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

nein, aber ich kenne ihn (gut) vom Studium. (Die Aufgabe gehört neben vielen anderen zur Vorbereitung auf eine Klausur).

Aber so wie es aussieht, sind die auf der gleichen Schiene gefahren und landen, wie ich es gemusst hätte, hier:



Ich vermute hier setzt nun das "Logarithmieren" ein? D.h.:



Löse ich nun nach x auf sollte das dabei herauskommen:


Damit hätte ich die gewünschte logarithmische Darstellung des Sinus.

Gesucht war ja die Ableitung von ArcSin, d.h.. ich ich muss die rechte Seite der obigen Gleichung ableiten - wenn ich das tue, kommt aber nicht die tatsächliche Ableitung des ArcSin heraus. Also mache ich irgendwas falsch. traurig
:wink
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

dann rechne nochmals, es kommt das richtige heraus.
Wenn Du scannen oder Fotographieren kannst schreib es sauber auf Papier und lade die Datei dann hoch
statt dich mit Latex abzuplagen ( wenn das Dir eine Plage erscheint ).
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alterHund
dann rechne nochmals, es kommt das richtige heraus.
Wenn Du scannen oder Fotographieren kannst schreib es sauber auf Papier und lade die Datei dann hoch
statt dich mit Latex abzuplagen ( wenn das Dir eine Plage erscheint ).


Es dauert etwas länger, das alles mit Latex einzugeben, aber ich habe leider keinen Scanner hier unglücklich

Okay, los gehts!

Gesucht ist die Ableitung von


Ich setze zunächst und differenziere mit Hilfe der Quotientenregel:

(wobei ich hier davon ausgehe, dass die Ableitung von i = 0 ist. Falls die Ableitung von i = 1 sein sollte, hänge ich aber am ln(....) fest)

d.h.

mhh böse also irgendwas mache ich echt falsch.

Für die Ableitung von ln(...) habe ich die Kettenregel genutzt..
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Brummbärchen

d.h.

mhh böse also irgendwas mache ich echt falsch.

Für die Ableitung von ln(...) habe ich die Kettenregel genutzt..


Verzeihung, da fehlte noch etwas: Der Nenner muss quadriert werden (i^2 = -1)

also:
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab wie folgt begonnen

dann im Nenner das i hineinmultiplizieren, dann Zähler und Nenner mal -1, dann Nenner und Zähler mit
Konjugiert komplexen Nenner mult. -fast fertig, im Zähler bleibt x²/w + w, im Nenner x²+1-x² + w, im Zähler ...

Edit: Gute Nacht.
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

danke, nun habe ich meinen Fehler bemerkt: Ich habe falsch abgeleitet.

Vielen Dank!
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmals,

zur Übung wollte ich Arccos(x) auch in dieser Art und Weise ableiten, vielleicht kannst du mir da auch am Ende nochmals weiterhelfen:

1. und

Daraus erhalte ich:
2.

Ich setze und erhalte
3.

Ich multipliziere beide Seiten mit e^{ix} und erhalte
4.

Ich löse die dadurch entstandene quadratische Gleichung für u = e^ix und erhalte:
5.

Durch Umbenennung wiederum erhalte ich:
6.

und kann nun logarithmieren:
7.

und erhalte für die Ableitung von y nun:
8.

oder mit



Stimmt es denn bis hierher, oder hat sich schon wieder ein Fehler eingeschlichen?
Brummbärchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

und erhalte für die Ableitung von y nun:
8.

oder mit



Stimmt es denn bis hierher, oder hat sich schon wieder ein Fehler eingeschlichen?


Entschuldigung! Ich glaube den Fehler bereits entdeckt zu haben:

8. muss lauten:


(Im Nenner des dritten Faktors fehlte die 2.)

Das erneute durchrechnen hat dann (bei mir) die gewünschte Lösung ergeben.
alterHund Auf diesen Beitrag antworten »

zuvor bist Du noch von

ausgegangen
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »