Teilbarkeit und GGT - 2 Aufgaben

19.09.2013, 20:14

sunnystramp

Teilbarkeit und GGT - 2 Aufgaben

Meine Frage:
Habe zwei Beweise bei denen ich nicht weiterkomme:

1. Beweisen Sie unter Verwendung der Definition von Teilbarkeit folgende Aussage $\begin{eqnarray*} b,c,t \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} t|b ; t [|/] c \Rightarrow t [|/] (b+c) \end{eqnarray*}$

[|/] bedeutet "teilt nicht", habe kein entsprechendes Symbol gefunden

2. Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} ggT(a,b) = |ggt(a,b)| \leq min \{|a|,|b|\} \end{eqnarray*}$

Wobei "min" für das Minimum der Zahlen in der genannten Menge steht.

Meine Ideen:
Zu 1: Habe mir überlegt, dass man mit der Definition $\begin{eqnarray*} a[|/]c = n\cdot a=c a \in \{ \mathbb Q / \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ arbeiten könnte.

Und so könnte man sagen

$\begin{eqnarray*} b= q\cdot t; q\in \mathbb Z c= n\cdot t; n\in \{\mathbb Q / \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b+c)= (qt + nt)= st |:t s=q+n \Rightarrow s \in \{\mathbb Q / \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

da n+q immer eine nicht ganze Zahl ergibt, würde das doch den Sachverhalt von oben beweisen.

Zu 2 habe ich absolut keine Ansätze.

Danke für eure Hilfe.

19.09.2013, 20:22

watcher

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} \nmid \end{eqnarray*}$

Bei der 2) wäre interessant wie ihr ggT definiert habt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a[|/]c = n\cdot a=c a \in \{ \mathbb Q / \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ arbeiten könnte.

Was ist das für eine Def.? wozu die Klammern?
Und meinst du wirklich $\begin{eqnarray*} \{ \mathbb Q / \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ und nicht was anderes vielleicht $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \backslash \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , also die rationalen Zahlen ohne die ganzen Zahlen?

Die Idee könnte richtig sein, tu mich aber aufgrund des obigen und des mangelnden Fließtextes schwer beim Lesen.

19.09.2013, 21:22

sunnystramp

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Ja danke

für das Symbol

Den ggT haben wir folgendermaßen definiert: Seien $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ . Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte natürliche Zahl d mit $\begin{eqnarray*} d\mid a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d\mid a \end{eqnarray*}$ .

19.09.2013, 21:33

watcher

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Ich nehme an, es soll

Zitat:

Der größte gemeinsame Teiler von a und b ist die größte natürliche Zahl d mit $\begin{eqnarray*} d\mid a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d\mid b \end{eqnarray*}$ .

heißen.
Das verwundert micht etwas da dann sofort ggT(a,b)=|ggT(a,b)|
Die Ungleichung kriegt man z.B. wenn man dran denkt, dass Teilen Zahlen "kleiner" macht.

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