Differentialgleichung 2. Ordnung mit Exponentialfunktion

20.09.2013, 11:44

DoubtGin

Differentialgleichung 2. Ordnung mit Exponentialfunktion

Hallo, ich habe ein Problem bzgl der Differentialgleichung 2. Ordnung, falls auf der rechten Seite eine Exponentialfunktion zu finden ist.

Also als Beispiel: $\begin{eqnarray*} y''-8y'+15y = 4e^{3x} \end{eqnarray*}$

Die homogene Lsg ist einfach: $\begin{eqnarray*} y_{h}= c_{1}e^{5x}+ c_{2}e^{3x} \end{eqnarray*}$

Jetzt zur inhomogenen Lösung: 3 ist dabei eine Nullstelle, also lautet der Ansatz doch: $\begin{eqnarray*} y_{p} = Cx^{k}e^{ax} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y_{p} = Cxe^{3x} \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Falls rechts ein Polynom steht, muss man ja einfach (z.B. bei Grad 2) $\begin{eqnarray*} ax^{2}+bx+c \end{eqnarray*}$ zweimal ableiten und in die Gleichung einsetzen, dann kriegt man Werte für a, b und c raus und hat somit die partikuläre Lösung.

Meine Frage ist jetzt: Was leite ich bei der e-Funktion ab? Etwa $\begin{eqnarray*} y_{p} = Cxe^{3x} \end{eqnarray*}$ ? Wie kriege ich raus, welchen Wert das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ hat?

Falls ja, wie leite ich die Funktion ab? (Nebenbei: Die Lösung soll $\begin{eqnarray*} -2xe^{3x} \end{eqnarray*}$ lauten, also muss ich ja iwie $\begin{eqnarray*} C = -2 \end{eqnarray*}$ rauskommen).

Und wir hatten auch eine dritte Variante für die rechte Seite; wenn nämlich $\begin{eqnarray*} A\sin(x)+B\cos(x) \end{eqnarray*}$ . Dort muss man ja nachdem man die homogene Lösung raushaut schauen, ob $\begin{eqnarray*} bi \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle ist, der Ansatz ist ja $\begin{eqnarray*} y_{p} = x^{k}(C\sin(bx)+D\cos(bx) \end{eqnarray*}$

Auch hier die Frage: Was genau leite ich ab? Bei Polynomen ist das ja relativ einfach, aber weil wir diese (also e-funktion und sinus/kosinus) Aufgabentypen im Tutorium nicht wirklich besprochen haben, weiß ich nicht weiter.

Danke im Voraus.

20.09.2013, 11:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von DoubtGin
Was leite ich bei der e-Funktion ab? Etwa $\begin{eqnarray*} y_{p} = Cxe^{3x} \end{eqnarray*}$ ? Wie kriege ich raus, welchen Wert das $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ hat?

Falls ja, wie leite ich die Funktion ab? (Nebenbei: Die Lösung soll $\begin{eqnarray*} -2xe^{3x} \end{eqnarray*}$ lauten, also muss ich ja iwie $\begin{eqnarray*} C = -2 \end{eqnarray*}$ rauskommen).

Leite einfach die Funktion $\begin{eqnarray*} y_p(x) = Cxe^{3x} \end{eqnarray*}$ ganz normal nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab, und das zweimal! Die entstehenden $\begin{eqnarray*} y_p,y_p',y_p'' \end{eqnarray*}$ setzt du dann in die inhomogene DGL ein und ermittelst so (über Koeffizientenvergleich) den Wert $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

D.h. für die erste Ableitung streng nach Produkt- und Kettenregel

$\begin{eqnarray*} y_p' = Ce^{3x} + Cxe^{3x}\cdot 3 = C(1+3x)e^{3x} \end{eqnarray*}$

usw.

20.09.2013, 12:19

DoubtGin

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$\begin{eqnarray*} 3Ce^{3x}(2+3x) \end{eqnarray*}$

Dann hätten wir: $\begin{eqnarray*} 3Ce^{3x}(2+3x) - 8(C(1+3x)e^{3x} + 15(Cxe^{3x}) = 4e^{3x} \end{eqnarray*}$

oder?

20.09.2013, 13:16

HAL 9000

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Genau, und jetzt fass mal links zusammen, das wird dann ziemlich übersichtlich. Augenzwinkern

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