Beweis: positiv definit

20.09.2013, 17:41

berlinerin

Beweis: positiv definit

hallo zusammen smile

ich hab folgende aufgabe:
Es sei n element N und A element M(n,R) symetrisch. Zeige:
A ist genau dann positiv definit, wenn A invertierbar und A^{-1} positiv definit ist.

meine Idee
:
Beh: A positiv definit <=> A invertierbar, A^{-1} positiv definit

Beweis:
=> Sei A positiv definit, dann gilt:
Jeder Eigenwert ist > 0
folglich ist det(A) > 0
Somit ist A invertierbar.
Da A symetrisch ist, gilt A = A^{T}

wie mach ich denn da jetz weiter, dass ich beweisen kann, dass A^{-1} positiv definit ist? danke im voraus smile

20.09.2013, 17:45

watcher

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Hallo,

es gibt einen sehr einfachen Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von A und denen von $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ .

20.09.2013, 17:52

berlinerin

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ich glaub ich hab was gefunden:

Da A invertierbar ist gilt zusätzlich:
A^{-1} = A ^{T}
Somit folgt:
A = A ^{T} = A^{-1} , folglich gilt A = A^{-1}.
Somit ist auch A^{-1}

kann man das so sagen? smile

20.09.2013, 17:54

watcher

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Zitat:

Da A invertierbar ist gilt zusätzlich: A^{-1} = A ^{T}

Nein .Gegenbsp. A=diag{1,2}

Wie wärs wenn du dir Gedanken zu meinem ersten Post machst?

20.09.2013, 18:04

berlinerin

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jaa.. des gilt nur im orthogonalen fall.. da hab ich mich wohl zu früh gefreut!

also der zusammenhang ist:
wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert von A ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ^{-1} Eigenwert von A{-1}

wie verwende ich dass jetz?

20.09.2013, 18:06

watcher

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Zitat:

wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert von A ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ^{-1} Eigenwert von A{-1}

solange $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

wie verwende ich dass jetz?

Was ist denn zu zeigen?
Was wissen wir jetzt damit?

20.09.2013, 18:10

berlinerin

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Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwert von A. Da A positiv definit ist gilt:
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ > 0
folglich ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ^{-1} Eigenwert von A^{-1}, und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ^{-1} > 0.
Somit gilt A^{-1} positiv definit. oda?

20.09.2013, 18:13

watcher

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Ja.

Das ^{-1} muss mit in die LaTeX-Umgebung.

20.09.2013, 18:15

berlinerin

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juhuu

Dankeschön!

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