Funktionsscharen, Schnittpunkte mit 2. Winkelhalbierenden

20.09.2013, 17:47

TheBlueOne

Funktionsscharen, Schnittpunkte mit 2. Winkelhalbierenden

Meine Frage:
Hallo smile

)

Also ich sitz seid ner Ewigkeit an dieser Aufgabe und komm nicht weiter:

Durch fa(x)= x^3 + a*x^2 + (a-1)*x ( mit a Element aus R)ist eine Funktionenschar gegeben. Die zugehörigen Schaubilder seinen Ka.

Die Aufgabe dazu:

Die 2. Winkelhalbierende schneidet jedes Schaubild Ka. Für welches a gibt es genau einen(zwei; drei) Schnittpunkte?

So also mein Ansatz ist die Gleichung der 2. Winkelhalbierenden mit fa(x) gleichzusetzen also :

-x= x^3 + a*x^2+(a-1)x

Ich geh jetzt einfach mal davon aus, dass es bis da richtig ist Big Laugh

Ich hab die Gleichung dann vereinfacht:

-x = x^3 + a*x^2 +a*x - x

0 = x^3 + a*x^2 +a*x

Und dann x ausgeklammert und mit pq Formel weitergemacht...
Jetzt steh ich aber total auf dem Schlauch was das überhaupt für die Fragestellung bedeutet. Die eine Lösung ist ja schonmal x=0 aber was sagt mir das?

Die pq Formel hab ich dann so weiter gerechnet:

x1;2 = -a/2 +/- Wurzel aus a^2/4 - a

Und dann geschrieben: Man erhält 2 Lösungen für D > 0 , also 2 Lösungen für a > gleich 4
&
eine Lösung für D=0 , also eine Lösung für a = 0

Ich würde jetzt gerne wissen, ob das richtig war was ich gemacht habe bis jetzt oder ob das überhaupt keinen Sinn macht, denn ich weiß es selber nicht Big Laugh

... und auch für welches a ich da bitte 3 Schnittpunkte bekommen soll?

Wär wirklich super nett wenn mir jemand helfen könnte und sorry wenn ich hier irgendwas falsch geschrieben habe oder so... das ist mein erster Beitrag. smile

Meine Ideen:
^^

20.09.2013, 18:03

Kasen75

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RE: Funktionsscharen, Schnittpunkte mit 2. Winkelhakbierenden

Zitat:

Original von TheBlueOne
Die eine Lösung ist ja schonmal x=0 aber was sagt mir das?

Es sagt Dir, dass es unabhängig vom Wert a immer einen Schnittpunkt bei x=0 gibt.

Zitat:

Original von TheBlueOne
Die pq Formel hab ich dann so weiter gerechnet:

x1;2 = -a/2 +/- Wurzel aus a^2/4 - a

Und dann geschrieben: Man erhält 2 Lösungen für D > 0 , also 2 Lösungen für a > gleich 4
&
eine Lösung für D=0 , also eine Lösung für a = 0

Du hast dann für a>4 zwei Lösungen, und damit zwei weitere Schnittpunkte gibt. Denn bei x=0 ist ja schon ein Schnittpunkt.

usw.

Grüße.

Edit:

Es muss natürlich

Zitat:

Original von TheBlueOne
eine Lösung für D=0 , also eine Lösung für a = 4

heißen.

20.09.2013, 18:21

TheBlueOne

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RE: Funktionsscharen, Schnittpunkte mit 2. Winkelhakbierenden
Also die Antwort wäre dann :

Für a= 0 erhält man genau einen Schnittpunkt (0/0)

Für a= 4 erhält man genau 2 Schnittpunkte (0/0) und den, den man aus der pq Formel erhält

Für a < 4 erhält man genau 3 Schnittpunkte (0/0) und die, die man aus der pq Formel erhält

?

20.09.2013, 18:46

Kasen75

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RE: Funktionsscharen, Schnittpunkte mit 2. Winkelhakbierenden
Hiermit

Zitat:

Original von TheBlueOne
Also die Antwort wäre dann :

Für a= 4 erhält man genau 2 Schnittpunkte (0/0) und den, den man aus der pq Formel erhält

Für a > 4 erhält man genau 3 Schnittpunkte (0/0) und die, die man aus der pq Formel erhält

?

bin ich so einverstanden. Siehe Korrektur.

Hier

Zitat:

Original von TheBlueOne

Für a= 0 erhält man genau einen Schnittpunkt (0/0)

musst du alle Fälle von a betrachten, bei dem die Determinante < 0 ist. Das ist bei a<4 der Fall.

20.09.2013, 19:26

TheBlueOne

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RE: Funktionsscharen, Schnittpunkte mit 2. Winkelhakbierenden
und was ist mit a = -3 oder -5 ?

20.09.2013, 19:37

TheBlueOne

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RE: Funktionsscharen, Schnittpunkte mit 2. Winkelhakbierenden
Quatsch das bleibt ja positiv Hammer

....aber wenn man die Zahlen 1,2 oder 3 einsetzt dann wird es negativ

20.09.2013, 19:42

TheBlueOne

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RE: Funktionsscharen, Schnittpunkte mit 2. Winkelhakbierenden
Ne .. doch bei den negativen.. Big Laugh

Also wenn ich z.B. -3 einsetze, dann wird die Wurzel positiv, also gibt es für diesen Wert mehr als einen Schnittpunkt... d.h. a<4 zu schreiben wäre auch falsch oder?

20.09.2013, 19:57

Kasen75

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Du hast recht.

In diesen beiden Fällen, a<0 und a>4, wird die Diskriminante positiv. Somit insgesamt 3 Schnittpunkte.

Bei a=0 und a=4 ist D=0. Somit insgesamt zwei Schnittpunkte.

Bei 0<a<4 ist D < 0. Also nur ein Schnittpunkt.

Im Prinzip muss man ja nur diese drei (Un)gleichungen lösen.

$\begin{eqnarray*} \frac{(-a)^2}{4} -a >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(-a)^2}{4} -a=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(-a)^2}{4} -a<0 \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} (-a)^2=a^2 \end{eqnarray*}$

20.09.2013, 20:20

TheBlueOne

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aber wenn ich die Ungleichungen löse komme ich nur auf

(-a)^2/4 -a < 0 -> a <4

(-a)^2/4 -a > 0 a > 4

(-a)^2/4 -a = 0 a = 4

Ungleichungen haben wir aber in der Unterstufe nie gemacht von daher weiß ich nicht ob ich richtig gerechnet hab.... aber so stimmt es ja nicht

20.09.2013, 20:48

Kasen75

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Ich führe es mal an dieser Ungleichung vor:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-a)^2}{4} -a >0 \end{eqnarray*}$

Das ist ja das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}{4} -a >0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man a ausklammern.

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{a} \cdot \left( \frac{a}{4} -1\right) >0 \end{eqnarray*}$

Ein Produkt von zwei Faktoren ist positiv, wenn entweder beide Faktoren positiv sind oder wenn beide Faktoren negativ sind.

Beide Faktoren positiv
1. Faktor (blau) positiv, wenn a >0

2. Faktor positiv, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a}{4} -1 >0 \end{eqnarray*}$

-1 auf die rechte Seite durch Addition von 1 auf beiden Seiten.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{4} >1 \end{eqnarray*}$

Beide Seiten mit 4 multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} a>4 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis von 1. war, dass a>0 sein muss. Und bei 2. muss a>4.

Damit beide Bedingungen erfüllt sind, muss a > 4 sein.

Beide Faktoren negativ
1. Faktor (blau) negativ, wenn a <0

2. Faktor negativ, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a}{4} -1 <0 \end{eqnarray*}$

-1 auf die rechte Seite durch Addition von 1 auf beiden Seiten.

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{4} <1 \end{eqnarray*}$

Beide Seiten mit 4 multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} a<4 \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis von 1. war, dass a<0 sein muss. Und bei 2. muss a<4.

Damit beide Bedingungen wiederum erfüllt sind, muss a < 0 sein.

Somit ist insgesamt für a<0 und für a>4 der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{a} \cdot \left( \frac{a}{4} -1\right) >0 \end{eqnarray*}$ positiv und es gibt insgesamt drei Schnittpunkte.

21.09.2013, 08:46

TheBlueOne

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Für a < 4 und a >0 ist die Gleichung ja negativ, dh. es gibt einen Schnittpunkt.

Ich habe jetzt versucht, dass so nachzuweisen:

a^2/4 - a < 0

a* (a/4 - 1) < 0

-> Ein Produkt ist negativ, wenn einer der beiden Faktoren negativ ist.

a < 0

v

a/4 -1 < 0

a < 4

Da immer nur EINER der Beiden negativ sein darf lautet die Lösung:

Die Ungleichung ist negativ für a < 4 und a > 0 ( weil in diesem Fall der Faktor a positiv sein muss)

Die Ungleichung ist negativ für a < 0 und a > 4 ( weil in diesem Fall der Faktor (a/4 - 1) negativ sein muss)

Da herrscht aber ein Widerspruch, da a nicht größer als 4 und gleichzeitig kleiner als 0 sein kann. Daher ist nur die erste Lösung richtig.

Wäre diese Antwort richtig? Ich würde es nämlich gerne korrekt mit den Ungleichungen aufschreiben um es auch beweisen zu können.

21.09.2013, 09:37

Kasen75

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Zitat:

Original von TheBlueOne
Für a < 4 und a >0 ist die Gleichung ja negativ, dh. es gibt einen Schnittpunkt.

a < 0

v

a/4 -1 < 0

a < 4

Diesen Teil verstehe ich nicht ganz.

Ich habe jetzt versucht, dass so nachzuweisen:

a^2/4 - a < 0

a* (a/4 - 1) < 0

-> Ein Produkt ist negativ, wenn einer der beiden Faktoren negativ ist.

Da immer nur EINER der Beiden negativ sein darf, lautet die Lösung:

Die Ungleichung ist negativ für a < 4 und a > 0, weil in diesem Fall der Faktor a positiv und der Faktor (a/4 - 1) negativ sein müssen.

Somit muss ist 0<a<4 sein.

Die Ungleichung ist negativ für a < 0 und a > 4, weil in diesem Fall der Faktor (a/4 - 1) positiv und der Faktor a <0 sein müssen.

Da herrscht aber ein Widerspruch, da a nicht größer als 4 und gleichzeitig kleiner als 0 sein kann. Daher ist nur die erste Lösung richtig.

Bis auf meine Kommentare bzw. Ergänzungen ist das richtig. Die jeweiligen Rechnungen hast du (hier ich) dann schon gemacht und zwar für den Fall, dass es drei Schnittpunkte gibt.

21.09.2013, 13:13

TheBlueOne

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a < 0

v

a/4 -1 < 0

a < 4

Damit meine ich, dass ja entweder a kleiner null sein muss oder ( v) a/4 - 1 kleiner null sein muss damit die Gleichung

a* (a/4 - 1) < 0

erfüllt ist.

21.09.2013, 13:38

Kasen75

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Korrekter wäre:

$\begin{eqnarray*} D < 0, \text{wenn} \ a<0 \wedge \left( \frac{a^2}{4} -1 \right) > 0 \ \text{oder} \ a>0 \wedge \left( \frac{a^2}{4} -1 \right) < 0 \end{eqnarray*}$

Die Bedingung, dass der jeweilige andere Faktor positiv sein muss, sollte auch erwähnt werden.

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