Fehlerabschätzung Taylor

20.09.2013, 20:43

Ber

Fehlerabschätzung Taylor

Meine Frage:
Gegeben ist: $\begin{eqnarray*} f(0.4)=1, f'(0.4)=0, f''(0.4)=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\le f'''(x) \le 0.3 \end{eqnarray*}$ Ermitteln Sie daraus einen Näherungswert für $\begin{eqnarray*} f(0.39) \end{eqnarray*}$ und schätzen Sie den Fehler ab! Erwarten Sie, dass $\begin{eqnarray*} (0.39) > f(0.4) \end{eqnarray*}$ oder dass $\begin{eqnarray*} f(0.39)<f(0.4) \end{eqnarray*}$ ist? Warum?

Meine Ideen:
Ich bin mir leider etwas unsicher bei der Restgliedabschätzung und deren Interpretation und wäre deshalb sehr dankbar, wenn mir jemand kurz schreiben könnte ob das korrekt ist, oder nicht:

In die Taylorformel eingesetzt ergibt das $\begin{eqnarray*} 1-x^2+0.8x-0.16. \end{eqnarray*}$

Für das Restglied verwende ich die Formel nach Lagrange:

$\begin{eqnarray*} R_n(x) = \frac{f^{n+1}c}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{eqnarray*}$

Um das Restglied abzuschätzen verwende ich einmal $\begin{eqnarray*} f^{n+1}c=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} R_2(x) = \frac{0}{(3)!}(0.39-0.40)^{3} =0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f^{n+1}c=0.3 \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} R_2(x) = \frac{0.3}{(3)!}(0.39-0.40)^{3} =-0.00000005 \end{eqnarray*}$

somit: $\begin{eqnarray*} -0.00000005\le R_2(x)\le 0 \end{eqnarray*}$

Deshalb ist zu erwarten, dass $\begin{eqnarray*} f(0.39)<f(0.4) \end{eqnarray*}$ ist. Könnte man das schon im Vorhinein sagen?

21.09.2013, 14:09

Che Netzer

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RE: Fehlerabschätzung Taylor

Zitat:

Original von Ber
In die Taylorformel eingesetzt ergibt das $\begin{eqnarray*} 1-x^2+0.8x-0.16. \end{eqnarray*}$

Ja, das ist das Taylor-Polynom zweiten Grades mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} 0,4 \end{eqnarray*}$ , das ich allerdings noch nicht ausmultipliziert hätte.
Welchen Näherungswert erhältst du jetzt für $\begin{eqnarray*} f(0,39) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Deshalb ist zu erwarten, dass $\begin{eqnarray*} f(0.39)<f(0.4) \end{eqnarray*}$ ist

Du hast doch aber nur gezeigt, dass dein Näherungswert nicht kleiner als $\begin{eqnarray*} f(0,39) \end{eqnarray*}$ ist.
Ohne einen Näherungswert für $\begin{eqnarray*} f(0,39) \end{eqnarray*}$ würde mir nur die "Argumentation" über lokale Extrema eingefallen.

21.09.2013, 15:09

Ber

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RE: Fehlerabschätzung Taylor
Erstmal vielen Dank!

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Ber
In die Taylorformel eingesetzt ergibt das $\begin{eqnarray*} 1-x^2+0.8x-0.16. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} f(0,39) \end{eqnarray*}$ erhalte ich jetzt 0.9999.

Zitat:

Deshalb ist zu erwarten, dass $\begin{eqnarray*} f(0.39)<f(0.4) \end{eqnarray*}$ ist

Zitat:

Das ist mir jetzt nicht ganz klar, was du meinst? Durch den Näherungswert für $\begin{eqnarray*} f(0,39) \end{eqnarray*}$ weiß ich doch jetzt dass $\begin{eqnarray*} f(0.39)<f(0.4) \end{eqnarray*}$ . Wieso soll ich hier dann noch den Fehler abschätzen? verwirrt

21.09.2013, 15:25

Che Netzer

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RE: Fehlerabschätzung Taylor
Du weißt nur, dass ein Wert, der ungefähr $\begin{eqnarray*} f(0,39) \end{eqnarray*}$ ist, kleiner als $\begin{eqnarray*} f(0,4) \end{eqnarray*}$ ist.
Du hast nun gezeigt, dass der bei der Approximation gemachte Fehler in dem Sinne negativ ist, dass der exakte Wert von $\begin{eqnarray*} f(0,39) \end{eqnarray*}$ nicht größer als deine Approximation ist. Du hättest auch den Betrag des Fehlers abschätzen können: Der wäre auch noch klein genug.

21.09.2013, 15:54

Ber

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RE: Fehlerabschätzung Taylor
Hm, ich glaube zu verstehen. Die Restgliedabschätzung war dann also korrekt?

21.09.2013, 15:58

Che Netzer

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RE: Fehlerabschätzung Taylor
Ja, wobei man aber meistens den Betrag des Restglieds abschätzt.

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