Analytische Funktionen von Matrizen

20.09.2013, 22:24

Che Netzer

Analytische Funktionen von Matrizen

Hallo,

auf der Suche nach Anwendungen eines bestimmten Satzes in etwas elementareren Situationen bin ich auf eine Formel gestoßen, die eine Darstellung einer analytischen/holomorphen Funktion angewandt auf eine Matrix liefert.
Zur numerischen Berechnung ist die sicher nicht geeignet (auch die einfachere Form verwendet die Adjunkte, die wohl nicht gern berechnet wird) und für theoretische Aussagen scheint sie mir auch nutzlos, aber vielleicht finden einige sie ja ganz hübsch – und genau danach möchte ich hier fragen; ob die Formeln irgendjemandem sympathisch oder aber einfach nur hässlich erscheinen.

Zunächst also die allgemeinste Form:
Ist $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb C^{n\times n} \end{eqnarray*}$ eine komplexe Matrix mit charakteristischem Polynom $\begin{eqnarray*} \det(\lambda-A)=(\lambda-\lambda_1)^{\nu_1}\dotsb(\lambda-\lambda_m)^{\nu_m} \end{eqnarray*}$ und ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf der Menge dieser Eigenwerte holomorph, so ist
$\begin{eqnarray*} f(A)=\sum_{i=1}^m\frac1{(\nu_i-1)!}\left(\frac\dd{\dd\lambda}\right)^{\nu_i-1}\left.\left(f(\lambda)\operatorname{adj}(\lambda-A)\prod_{j\neq i}\frac1{(\lambda-\lambda_j)^{\nu_j}}\right)\right\vert_{\lambda=\lambda_i}\,. \end{eqnarray*}$

Ich fürchte, das wird noch niemandem zusagen, aber falls alle Eigenwerte paarweise verschieden (d.h. einfach) sind, ergibt sich die hübschere Formel
$\begin{eqnarray*} f(A)=\sum_{i=1}^nf(\lambda_i)\operatorname{adj}(\lambda_i-A)\prod_{j\neq i}\frac1{\lambda_i-\lambda_j}\,. \end{eqnarray*}$

Zugegebenermaßen bin ich auch nicht ganz überzeugt, dass das eine sinnvolle Anwendung ist, aber für $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen kann man das Ergebnis sogar ganz einfach per Hand ausrechnen.
Hat $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den doppelten Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich
$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=f(\lambda)+f'(\lambda)\begin{pmatrix}\lambda-d&b\\c&\lambda-a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(\lambda)+f'(\lambda)(\lambda-d)&f'(\lambda)b\\f'(\lambda)c&f(\lambda)+f'(\lambda)(\lambda-a)\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$

Hat diese Matrix zwei verschiedene Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ , so ist
$\begin{align*} f\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}&=\frac{f(\lambda_1)}{\lambda_1-\lambda_2}\begin{pmatrix}\lambda_1-d&b\\c&\lambda_1-a\end{pmatrix}+\frac{f(\lambda_2)}{\lambda_2-\lambda_1}\begin{pmatrix}\lambda_2-d&b\\c&\lambda_2-a\end{pmatrix}\\&=\frac1{\lambda_1-\lambda_2}\begin{pmatrix}f(\lambda_1)(\lambda_1-d)-f(\lambda_2)(\lambda_2-d)&b\bigl(f(\lambda_1)-f(\lambda_2)\bigr)\\c\bigl(f(\lambda_1)-f(\lambda_2)\bigr)&f(\lambda_1)(\lambda_1-a)-f(\lambda_2)(\lambda_2-a)\end{pmatrix}\,. \end{align*}$

Was meint ihr? Kann man das z.B. jemandem, der gerade LinA hört/gehört hat, als (halbwegs) sinnvolle Anwendung der Theorie, aus der ich das habe, verkaufen?

21.09.2013, 00:08

12345678

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Hallo!
Kann das aus didaktischer Sicht schlecht beurteilen, mir fallen nur ein paar Punkte ein wie ich das während / kurz nachdem ich LinAlg gehört habe gesehen hätte:

1. Ich hatte da keine Ahnung, was holomorph bedeutet oder was $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ ist, aber ich denke diejenigen, denen du das zeigen magst, wissen das, sonst hättest du das Beispiel wohl nicht gewählt.

2. Wie du sagst, die erste Aussage hätte mich sofort ziemlich abgeschreckt, die würde ich nicht verwenden um zu zeigen, dass es eine Anwendung gibt.

3. Wie unterscheidet sich denn der Beweisaufwand der Formeln? Weil wenn die Beweise fast gleich schwer sind,
dann könntest du -wenn du die Formel beweisen magst- gleich beide beweisen, also dass sich der Beweis auch lohnt Augenzwinkern

Ist die zweite Formel einfacher würde ich die nehmen, weil meiner Meinung nach lernt man häufig bei einfacheren Aufgaben, die man aber dafür auch lösen kann, mehr, als wenn man schwierige Aufgaben macht, die aber erst mit Lösungen versteht.

4.Wie hast du denn vor das dranzubringen? Als Übungsaufgabe oder in einer Vorlesung?
Ich finde ob du das dranbringen solltest hängt ziemlich stark davon ab, wie aufwendig (und lehrreich) der Beweis ist.
Wenn der Beweis nämlich lang und wenig lehrreich ist und wenig mit dem aktuellen Stoff zu tun hat und das Resultat "nur" eine Anwendung ist und du das in der Vorlesung dranbringst, hab ich die Erfahrung gemacht, dass geschätzte 95 % nach 5 Minuten nicht mehr dabei sind. (ob man dann selbst Schuld ist als Student oder nicht darüber kann man natürlich streiten).

Naja, aus meiner Sicht das vllt als Fazit:

Wenn der Beweis einfach ist würd ichs als Übungsaufgabe hernehemen, vllt. erst die relativ allgemeine Formel (mit einfachen Eigenwerten) und dann die 2x2 Formel folgern (für einf. EW).
Wenn der Beweis so mittel lang ist, aber lehrreich, dann würd ichs vllt. in der Vorlesung dranbringen.
Wenn der Beweis lang und nicht sehr sinnvoll ist, würd ichs entweder nicht drannehmen oder evt. nur kurz das Resultat hinschreiben und sagen, dass man das mit der Theorie zeigen kann.

Und ob die bewiesene Formel dann schön war oder nicht so, war mir als Student damals nicht so wichtig, wenn man den Beweis hinbekommen hat, hat man sich halt gefreut, das es passt, aber man musste die Formel ja nicht explizit anwenden. Also ne tolle Anwendung ist natürlich schon gut, aber nach meiner Erfahrung hat man da
jetzt nicht soo großen Wert draufgelegt, solange man die Anwendung nicht explizit weiterverwendet hat und der Beweis nicht zu kompliziert war.

Generell finde ich, das nicht jede Theorie zwingend eine Anwendung braucht, manche
Fragen sind ja auch so für sich interessant zu stellen, also muss ja nicht auf Biegen und Brechen alles angewendet werden.

Also insgesamt würde ich den Fokus weniger auf die Aussage selbst legen, als auf den Beweis dazu und danach gehen.

21.09.2013, 08:35

Che Netzer

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Es ginge um einen Vortrag über ein relativ abstraktes Thema, der sich leider auch an Studienanfänger/Drittsemester richten soll.
Um denen nicht einfach die abstrakte Theorie vorzuklatschen, deren Grundlagen sie noch nicht kennen, fände ich es praktisch, etwas von der Form "Und so kann man das für etwas verwenden, was ihr kennt" erwähnen zu können.

Zitat:

Original von 12345678
1. Ich hatte da keine Ahnung, was holomorph bedeutet oder was $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ ist, aber ich denke diejenigen, denen du das zeigen magst, wissen das, sonst hättest du das Beispiel wohl nicht gewählt.

Wenn ich die Formel erwähnen würde, würde ich sie wahrscheinlich allgemein für analytisches/holomorphes $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ formulieren und sagen, dass sich diejenigen, die den Begriff nicht kennen, einfach $\begin{eqnarray*} f=\exp \end{eqnarray*}$ vorstellen können.

Zitat:

3. Wie unterscheidet sich denn der Beweisaufwand der Formeln?

Die zweite folgt direkt aus der ersten mit $\begin{eqnarray*} \nu_i=1 \end{eqnarray*}$ . Man könnte sie aber auch direkt beweisen.
Im Grunde schreibt man nur die Cauchy-Integralformeln auf und benutzt $\begin{eqnarray*} (\lambda-A)^{-1}=\frac1{\det(\lambda-A)}\operatorname{adj}(\lambda-A) \end{eqnarray*}$ .
Für die erste Formel benutzt man die allgemeinen Cauchy-Integralformen, die einem Werte der Ableitungen einer Funktion liefern; für die zweite würde die "einfache" Integralformel ohne Ableitungen genügen.
Aber das würde ich höchstes kurz erwähnen können.

Zitat:

Also insgesamt würde ich den Fokus weniger auf die Aussage selbst legen, als auf den Beweis dazu und danach gehen.

Das wäre im Vortrag allerdings ungünstig. Ich würde halt davon ausgehen, dass einigen nur Matrizen bekannt sind und ggf., dass man die Exponentialfunktion darauf anwenden kann.
Als lehhreich würde ich den Beweis auch nicht unbedingt bezeichnen. Der Kernpunkt ist eigentlich "... und im Spezialfall, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Matrix ist, kann man das sogar ausrechnen".

21.09.2013, 09:09

12345678

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Zitat:

Es ginge um einen Vortrag über ein relativ abstraktes Thema, der sich leider auch an Studienanfänger/Drittsemester richten soll.

.
Ach so, ja dann ist das etwas anders denke ich.
Also positiv denke ich ist, dass zu einem Vortrag über ein abstraktes Thema wohl eher nur die Interessierteren Zweit-/Drittsemestler kommen werden, die evt. schon ein bisschen mehr können.

Bei einem Vortrag musst du so ein Beispiel dann wohl auch nicht unbedingt beweisen, vermute ich.

Vllt. sagst du ihnen auch noch kurz, wie die Matrixexponentialfunktion definiert ist, glaub nicht dass das schon alle wissen.

Zitat:

Als lehhreich würde ich den Beweis auch nicht unbedingt bezeichnen. Der Kernpunkt ist eigentlich "... und im Spezialfall, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Matrix ist, kann man das sogar ausrechnen".

Ja wenn das ganze ein Vortrag ist, dann ist die Anwendung denke ich ok.
Weil so wie ich dich verstehe hat man mit dem durchschnittlichen Zweitsemestlerwissen eh wenig Chancen, den Vortrag inhaltlich ganz zu verstehen, da ist es glaube ich schon gut, wie du auch gemeint hast, ihnen wenigstens eine Anwendung zu geben, die sie nachvollziehen können.
Und was wesentlich anschaulicheres scheint`s ja dazu nicht zu geben.

21.09.2013, 09:18

Che Netzer

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Zitat:

Original von 12345678
Ja wenn das ganze ein Vortrag ist, dann ist die Anwendung denke ich ok.

Sehr schön! Dann werde ich mal noch ein paar Meinungen einholen (vielleicht meldet sich hier noch jemand) und wenn die ähnlich sind, werden die Formeln wohl kurz erwähnt.

Danke für die Beurteilung!

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