Frage zur Stammfunktion

21.09.2013, 10:43	Adelbert	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Stammfunktion Meine Frage: Hi! Ich habe ein Abi Übungsbuch mit Lösungen. Da ist in einer Aufgabe ein mit 100 m³ Wasser gefülltes Becken und die momentante Änderungsrate des Volumens durch $\begin{eqnarray} v(t)=-0,49\cdot e^{-0,007t} \end{eqnarray}$ gegeben und jetzt soll ein Funktionsterm V(t) bestimmt werden. Meine Ideen: Da dachte ich mir ja klar $\begin{eqnarray} V(t)=70\cdot e^{-0,007t}+c \end{eqnarray}$ und es muss ja noch $\begin{eqnarray} V(0)=100 \end{eqnarray}$ gelten. Also $\begin{eqnarray} 70 +c=100 \end{eqnarray}$ Die Funktion ist damit $\begin{eqnarray} V(t)=70\cdot e^{-0,007t}+30 \end{eqnarray}$ Bei der Lösung steht aber folgendes: $\begin{eqnarray} V(t)=100+\int_0^t \! -0,49\cdot e^{-0,007x} \, dx =\dots \end{eqnarray}$ Da kommt am Ende das gleiche heraus. Aber ich verstehe was das sein soll bzw. wie die darauf kommen.
21.09.2013, 10:54	Adelbert	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Frage zur Stammfunktion Aber ich verstehe nicht was das sein soll bzw. wie die darauf kommen. Wort vergessen^^
21.09.2013, 10:57	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gehen allgemeiner ran als du. Sie sagen, dass wir zu Beginn 100 m^3 haben und berücksichtigt wird die Änderungsrate. Das schreiben sie direkt als Integral hin und wenn man das ausrechnet kommt man auf den von dir beschriebenen Term. Du hingegen hast direkt die Anfangsbedingung ausgewertet. Da stellt sich aber die Frage, woher du wusstest, dass der Vorfaktor der e-Funktion 70 ist -> Vermutlich bist du genau den Weg gegangen, den das Lösungsbuch gegangen ist. Nur, dass du das nicht zu Papier gebracht hattest .
21.09.2013, 11:14	Adelbert	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Equester. Also auf die 70 bin ich gekommen in dem ich einfach eine Stammfunktion bestimmt habe dabei muss man ja das -0,007 als 1/-0,007 vorziehen. Das gibt dann 70. $\begin{eqnarray} V(t)=70\cdot e^{-0,007t}+c \end{eqnarray}$ . Ist das hier $\begin{eqnarray} \int_0^t \! -0,49\cdot e^{-0,007x} \, dx \end{eqnarray}$ dann eine andere Schreibweise für eine Stammfunktion?
21.09.2013, 12:18	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Das was du gemacht hast, ist genau die Stammfunktion zu bestimmen. Das Lösungsbuch ist noch in der Vorstufe. Die schreiben das Integral, woraus die Stammfunktion folgt, erst mal hin .

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