Schwaches Gesetz großer Zahlen

01.03.2007, 23:43	Chris_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwaches Gesetz großer Zahlen Hallo! $\begin{eqnarray} X_j \end{eqnarray}$ sei die im j-ten Wurf eines echten Würfels erzielte Augenzahl, $\begin{eqnarray} j=1,...,n \end{eqnarray}$ . Ich möchte folgenden Grenzwert bestimmen: $\begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} \cdot \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {X_j - \frac{7}{2}} \right) \ge 0} } \right) \end{eqnarray}$ Dazu will ich das schwache Gesetz großer Zahlen verwenden: $\begin{eqnarray} $\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} \cdot \sum\limits_{j = 1}^n {\left( {X_j - \frac{7}{2}} \right) \ge 0} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} \cdot \sum\limits_{j = 1}^n {X_j } - \sqrt n \cdot \frac{7}{2} \ge 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} \cdot \left( {\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{j = 1}^n {X_j } - \cdot \frac{7}{2}} \right) \ge 0} \right) \end{array} \end{eqnarray}$ Was mache ich jetzt weiter? Gruß, Chris
02.03.2007, 06:40	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt ja $\begin{eqnarray} \bar{X}_n \to E(X) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ im Sinne stochastischer Konvergenz, wobei $\begin{eqnarray} \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \end{eqnarray}$ ist. Ich wüsste jetzt nicht, wie du allein damit die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen könntest. Schon eher wird das was, wenn du einen Schritt weiter gehst, und den ZGWS (Zentraler Grenzwertsatz) anwendest.
03.03.2007, 10:06	Chris_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Arthur! Vielen Dank, Du hast mir damit viel geholfen: Ich habe es irgendwie nicht bemerkt: $\begin{eqnarray} $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\frac{1}{{\sqrt n }} \cdot \left( {\sum\limits_{j = 1}^n {X_j } - \frac{7}{2}} \right) \ge 0} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\frac{{\sum\limits_{j = 1}^n {X_j } - n \cdot \frac{7}{2}}}{{\frac{{35}}{{12}} \cdot \sqrt n }} \ge 0} \right) = 1 - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } P\left( {\frac{{\sum\limits_{j = 1}^n {X_j } - n \cdot \frac{7}{2}}}{{\frac{{35}}{{12}} \cdot \sqrt n }} < 0} \right) = 1 - \int\limits_{ - \infty }^0 {\varphi (x)dx} = 1 - \phi (0) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Jetzt sollte es stimmen. Gruß, Chris

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