Homomorphismen

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mathisfun Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe eine Definition für Homomorphismus
[attach]31541[/attach]

und folgende Beispiele.

[attach]31542[/attach]
[attach]31543[/attach]
[attach]31544[/attach]

Da ich leider nicht so gut mit formalen Definitionen umgehen kann, verstehe ich nicht die folgenden Schritte, was man dort genau anwendet.
In ersten Beispiel: von n+m zu h(n+m),

im zweiten Beispiel: von mod(n+m,k) zu h(n+m)

und im dritten Beispiel: von |x|+|y| zu |x°y|=|x°y|




Meine Ideen:
Am Anfang nimmt man 2 beliebige n und m aus A und dann wendet man die Funktion h auf diese Elemente an. Was passiert dann, ist mir leider nicht klar. Und warum nimmt man gerade 2 Elemente aus A?

Danke für die Hilfe!
mathisfun Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, für die Beispiele 1 und 2 habe ich eine Idee. Da geht man einfach rückwärts vor. Aber warum die Gleichheit |x|+|y|=|x°y| im Beispiel 3 gilt, weiß ich immer noch nicht.
 
 
mathisfun Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt es, weil es bedeutet, dass wir die Länge des ersten Wortes mit der zweiten Wortes summieren, berechnen wir damit die Länge des verknüpften Wortes aus x und y? Sieht gut aus, die Erklärung, oder?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Am Anfang nimmt man 2 beliebige n und m aus A und dann wendet man die Funktion h auf diese Elemente an. Was passiert dann, ist mir leider nicht klar. Und warum nimmt man gerade 2 Elemente aus A?
Ganz einfach:
Zu zeigen ist, dass die Abbildung ein Homomorphismus von nach ist. Dazu ist eben zu überprüfen, dass alle Operationen der Algebra mit h vertauschbar sind (Definition).

Zitat:
Ok, für die Beispiele 1 und 2 habe ich eine Idee. Da geht man einfach rückwärts vor. Aber warum die Gleichheit |x|+|y|=|x°y| im Beispiel 3 gilt, weiß ich immer noch nicht.
Was genau du mit "rückwärts vorgehen" meinst weiß ich leder nicht.

Wie habt Ihr in der 3) die Menge definiert?
mathisfun Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!

Zitat:
Was genau du mit "rückwärts vorgehen" meinst weiß ich leder nicht.


Ich meinte, dass n+m und mod(n+m,k) die Bilder von Fkt h sind. Deswegen können wir = setzen.

Zitat:
Wie habt Ihr in der 3) die Menge definiert?


So:

[attach]31545[/attach]
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathisfun
Danke für die Antwort!

Zitat:
Was genau du mit "rückwärts vorgehen" meinst weiß ich leder nicht.


Ich meinte, dass n+m und mod(n+m,k) die Bilder von Fkt h sind. Deswegen können wir = setzen.
Ja, so in etwa.
Zitat:
Original von mathisfun
Zitat:
Wie habt Ihr in der 3) die Menge definiert?


So:

[attach]31545[/attach]
Ja, und anhand dieser Definition rechnest du die Definition eines Homomorphismus nach. Dass die Länge der Konkatination beider Wörter gleich die Summe der Längen beider Wörter ist, sollte dabei klar sein.
mathisfun Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dass die Länge der Konkatination beider Wörter gleich die Summe der Längen beider Wörter ist, sollte dabei klar sein.


Trivial, wie unser Prof sagt. Danke, dass Du Zeit für triviale Fragen genommen hast.

LG
mathisfun Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich kämpfe weiter mit Isomorphismen.

[attach]31551[/attach]

Wie kommt man von der vorherigen Zeile zur nächsten?

Es ist mir klar,dass h(h^-1(a))= a, aber wie man die Verknüpfung h(h^-1(a)°h^-1(b)) vereinfachen kann, sehe ich nicht.

Sorry für evtl. noch eine triviale Frage.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

In der Zeile wird eben ausgenutzt, dass h nach Voraussetzung ein Isomorphismus ist.

D.h.


Da auch ein Isomorphismus ist, gilt
mathisfun Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da auch h^-1 ein Isomorphismus ist, gilt


Ich dachte, ich muss zeigen, dass h(Strich oben)=h^-1 ein Isomorphismus ist und seine Eigenschaft nicht anwenden kann. Oder wenn h ein Isomorphismus ist, kann man davon ausgehen, dass h^-1 auch eins ist. ???
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathisfun
Zitat:
Da auch h^-1 ein Isomorphismus ist, gilt


Ich dachte, ich muss zeigen, dass h(Strich oben)=h^-1 ein Isomorphismus ist und seine Eigenschaft nicht anwenden kann. Oder wenn h ein Isomorphismus ist, kann man davon ausgehen, dass h^-1 auch eins ist. ???
Ich meinte eigendlich, dass ebenfalls bijektiv ist, sorry für die Verwirrung.
mathisfun Auf diesen Beitrag antworten »

Wo kann ich nachlesen über diese Eigenschaft von einer bijektiven FKt? Verstehe immer noch nicht, wie man drauf kommt. unglücklich

Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal unter dem Stichwort "Isomorphismus" in Wikipedia nach, im Allgemeinen meint man damit bijektive Funktionen.
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