Substitutionsregel

21.09.2013, 22:42

wolfgang-e

Substitutionsregel

Meine Frage:
Habe eine Frage:
Ist integral sin(x) dx = integral sin(x+Konstante) dx?
Ich hätte so substituiert x+Konstante=u und somit integral sin(u)du erhalten.

Meine Ideen:
Stimmt das?

21.09.2013, 22:58

12345678

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Hallo!
$\begin{eqnarray*} \int sin(x) dx = -cos(x) + C_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int sin(x + k) = -cos(x+k) + C_2 \end{eqnarray*}$
Deine Substitution ist ja trotzdem nicht verkehrt, aber du musst halt noch zurücksubstituieren.
Dass es nicht das gleiche ist, siehst du ja bspw. wenn du ein bestimmtes Integral anguckst.
Das Integral gibt ja dann die Fläche an zwischen Graph und x-Achse.
Und der $\begin{eqnarray*} sin(x + k) \end{eqnarray*}$ ist ja der sinus um k nach links verschoben, also siehst du wenn du die Grenzen bspw. mal passend wählst, dass es nicht das Gleiche ist.

21.09.2013, 23:15

wolfgang-e

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Ok vielen Dank schon mal!
Eigentlich wollte ich das Integral

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sin(x+\frac{\pi}{4} ) } \, dx \end{eqnarray*}$

berechnen, leider komme ich hier nicht weiter. Weiss jemand Rat?

21.09.2013, 23:40

12345678

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also du kannst alternativ wie du richtig gesagt hast $\begin{eqnarray*} \int \frac{1} {sin(w)} dw \end{eqnarray*}$
betrachten, zurücksubstituieren kannst du ja am Ende.
Ist das Integral von Tangens und Cotangens schon bekannt?

1. Substituiere $\begin{eqnarray*} u = \frac{w}{2} \end{eqnarray*}$
2. Verwende $\begin{eqnarray*} \sin(2\alpha)=2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$
3. Erhalte $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{sin(u)cos(u)} du \end{eqnarray*}$
4. Schreibe den Zähler mittels Additionstheorem um, und Teile die Brüche sinnvoll auf.
5. Integriere Tangens und Cotangens.

21.09.2013, 23:56

wolfgang-e

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Ehrlich gesagt, Integral von Tangens und Cotangens sind mir noch nicht bekannt.
Ich wusste auch nicht, dass $\begin{eqnarray*} \int \frac{1} {sin(w)} dw \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{sin(u)cos(u)} du \end{eqnarray*}$ gilt.
Glaube nicht, dass ich hier weiterkomme, da ich von Partialbruchzerlegung nicht sehr viel verstehe.

22.09.2013, 00:07

12345678

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Zitat:

Ehrlich gesagt, Integral von Tangens und Cotangens sind mir noch nicht bekannt.

Macht nix, die sind dann am Ende nicht mehr so viel Aufwand.

Zitat:

Ich wusste auch nicht, dass $\begin{eqnarray*} \int \frac{1} {sin(w)} dw \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{sin(u)cos(u)} du \end{eqnarray*}$ gilt.

Das folgt ja aus $\begin{eqnarray*} \sin(2\alpha)=2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Glaube nicht, dass ich hier weiterkomme, da ich von Partialbruchzerlegung nicht sehr viel verstehe.

Ist auch nicht nötig, du musst nur den Zähler auf den Nenner verteilen: $\begin{eqnarray*} \frac{A + B}{C} = \frac{A}{C} + \frac{B}{C} \end{eqnarray*}$

EDIT: Und wenn du Partialbruchzerlegung üben magst, hab grad in nem anderen Thread gesehen, dass
es hier dazu einen Workshop gibt: [WS] Partialbruchzerlegung

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