integral von cos²(kx)

22.09.2013, 12:32

Lipton

integral von cos²(kx)

Meine Frage:
Hi,
versuche gerade mal wieder eine Aufgabe zu lösen...
$\begin{eqnarray*} a_k:= \int_{-\pi}^\pi \! cos²(kx) \, dx , b_k:= \int_{-\pi}^\pi \! sin²(kx) \, dx \end{eqnarray*}$
a) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$
b) Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} a_k = b_k \end{eqnarray*}$ für ganze Zahlen.
c) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Irgendwie hab ich schon bei der a) Probleme.
Ich hab das ganze erst mal umgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! 0.5(1+cos(0x)) \, dx \end{eqnarray*}$
cos(0) = 1 darum hab ich 1 raus aber bei WolframAlpha kommt 2pi raus und ich hab keine Ahnung warum.

bei der b) hab ich
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^{\pi} \! cos(kx)*cos(kx) \, dx =\left[cos(kx)* \frac{1}{k} sin(kx) \right] + \int_{-\pi}^{\pi} \! sin(kx)*sin(kx) \, dx = \left[ \frac{1}{k} cos(kx)*sin(kx) \right] + \left[ \frac{1}{k} cos(kx)*sin(kx) \right] + \int_{-\pi}^{\pi} \! cos(kx)*cos(kx) \, dx = .... \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! sin²(kx) \, dx \end{eqnarray*}$ ist es ja das gleiche und das geht immer so weiter.

bei der c) weiß ich auch nicht wie ich das ausrechnen könnte, weil ichs ja nicht mal mit der 0 verstanden hab.

Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte smile

22.09.2013, 12:34

Che Netzer

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RE: integral von cos²(kx)

Zitat:

Original von Lipton
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! cos²(kx) \, dx \int_{-\pi}^\pi \! sin²(kx) \, dx \end{eqnarray*}$
a) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} a_0 b_0 \end{eqnarray*}$
b) Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} a_k = b_k \end{eqnarray*}$ für ganze Zahlen.
c) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} a_k b_k \end{eqnarray*}$

Bring erstmal die Aufgabenstellung in Ordnung.
Und soll in a) nun das Produkt $\begin{eqnarray*} a_0b_0 \end{eqnarray*}$ ausgerechnet werden oder beide Faktoren einzeln?

22.09.2013, 12:36

Lipton

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so jetzt ist besser, ich soll sie einzeln ausrechnen

22.09.2013, 12:39

Che Netzer

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Und es ist
$\begin{align*} a_k&:=\int_{-\pi}^\pi\cos^2(kx)\dx\,,\\b_k&:=\int_{-\pi}^\pi\sin^2\dx\,? \end{align*}$
Dann schreib mal etwas genauer auf, wie du $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ berechnet hast. Den Cosinus brauchst du da auch gar nicht umzuformen, sondern kannst direkt $\begin{eqnarray*} \cos^2(0x)=1 \end{eqnarray*}$ verwenden.

22.09.2013, 13:55

Lipton

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ok ich hab glaub hab meinen Fehler, bei der a) hab ich jetzt raus $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! cos²(0x) \, dx = 0.5 * \int_{-\pi}^\pi \! 1 \, dx = \left[x \right]_{-\pi}^\pi = \pi + \pi = 2 \pi \end{eqnarray*}$

bei der c) habe ich jetzt
$\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! 0.5(1-cos(2kx)) \, dx = 0.5 \int_{-\pi}^\pi \!(1-cos(2kx)) \, dx = 0.5 (\int_{-\pi}^\pi \! 1 \, dx -\int_{-\pi}^\pi \!cos(2kx) \, dx )= 0.5 (\left[x\right]_{-\pi}^\pi -\left[\frac{1}{2k} sin(2kx)\right]_{-\pi}^\pi) = 0.5 (\left[x\right]_{-\pi}^\pi - \frac{1}{2k} \left[ sin(2kx)\right]_{-\pi}^\pi) = \frac{(2\pi - \frac{1}{2k}((sin(2k\pi) - sin(-2k\pi)) )}{2} = \frac{2\pi - \frac{1}{2k}(2sin(2k\pi)) }{2} \end{eqnarray*}$

sieht irgendwie komisch aus verwirrt

hat die b) eigentlich gestimmt?

22.09.2013, 14:05

Che Netzer

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Zitat:

Original von Lipton
ok ich hab glaub hab meinen Fehler, bei der a) hab ich jetzt raus $\begin{eqnarray*} \int_{-\pi}^\pi \! cos²(0x) \, dx = 0.5 * \int_{-\pi}^\pi \! 1 \, dx = \left[x \right]_{-\pi}^\pi = \pi + \pi = 2 \pi \end{eqnarray*}$

Was soll denn dieser Faktor $\begin{eqnarray*} 0.5 \end{eqnarray*}$ ?

Die c) stimmt (wobei du noch $\begin{eqnarray*} a_k= \end{eqnarray*}$ davorschreiben könntest), allerdings könntest du am Ende noch zusammenfassen. Insbesondere kannst du aber $\begin{eqnarray*} \sin(2k\pi) \end{eqnarray*}$ ausrechnen.

Zitat:

hat die b) eigentlich gestimmt?

Nein, ich weiß auch gar nicht, wie du mit "das geht immer so weiter" die Behauptung zeigen wolltest. Nach der ersten partiellen Integration könntest du schon aufhören.

22.09.2013, 14:32

Lipton

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der kam von 0.5 (1- cos(0)) von vorhin noch, aber ich weiß dass er da nicht hingehört smile

war versehen.
bei der c) hab ichs so gemeint dass wenn ich sin²x integrieren würde ja genau die gleiche Rechnung rauskommen würde. Aber versteh schon was du meinst, danke Freude

Kann das sein, dass sin(2*k*pi) ja immer jede 2. Ns ist, weil ich lauf ja im Einheitskreis für jedes k einmal gaaaaanz rum, egal welchen Wert das k annimmt? also sin(2kpi)=0 für k = ganze Zahl?

22.09.2013, 14:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von Lipton
Kann das sein, dass sin(2*k*pi) ja immer jede 2. Ns ist, weil ich lauf ja im Einheitskreis für jedes k einmal gaaaaanz rum, egal welchen Wert das k annimmt? also sin(2kpi)=0 für k = ganze Zahl?

Schon, aber die Nullstellen des Sinus solltest du auswendig kennen!

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