Beweis Restklassen

22.09.2013, 17:21

south.look

Beweis Restklassen

Meine Frage:
Hi @all,

ich soll folgendes beweisen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \backslash (m\mathbb Z)= \{[k]_{m}\mid k=0,1,2,3...,m-1\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass die Elemente der verschiedenen Restklassen unterschiedlich sind und es so keine Schnittmengen gibt zwischen den Restklassen.

Ich habe auch den Ausdruck für die unterschiedlichen Restklassen verallgemeinert:

$\begin{eqnarray*} [m-n]_{m}= \{m-n, m-n \pm m, m-n \pm 2m, m-n\pm 3m...\} \end{eqnarray*}$

Aber ehrlich, ich habe keine Ahnnung

22.09.2013, 17:36

watcher

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \backslash (m\mathbb Z)= \{[k]_{m}\mid k=0,1,2,3...,m-1\} \end{eqnarray*}$

oder vielleicht
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \slash (m\mathbb Z)= \{[k]_{m}\mid k=0,1,2,3...,m-1\} \end{eqnarray*}$ ?

Wie habt ihr denn $\begin{eqnarray*} [k]_m \end{eqnarray*}$ definiert?
Und wie das Objekt links vom = ?

22.09.2013, 18:45

south.look

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Sei $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N ; m > 1 \end{eqnarray*}$ . Dann existieren
genau m verschiedene Restklassen modulo m, und diese sind

$\begin{eqnarray*} [0]_m { } [1]_m [2]_m ... [m - 2]_m [m - 1]_m \end{eqnarray*}$

Und

$\begin{eqnarray*} \mathbb Z \slash (m \mathbb Z) \end{eqnarray*}$ als Menge aller Restklassen modulo m.

Sorry für den Fehler

22.09.2013, 19:22

Nobundo

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Hallo, hier mein Vorschlag:
Zeige zunächst das für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<x<m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0<y<m \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} x\neq y\Rightarrow x\nsim y \end{eqnarray*}$ , das heisst also es gibt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ schonmal mindestens diese $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ Restklassen.

Zeige dann noch: jedes beliebige Element ist in einer dieser Restklassen bereits enthalten

gruß
Nobundo

22.09.2013, 20:28

south.look

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Der Zusammenhang ist mir echt noch nicht klar. Was bringt es mir zu beweisen, dass x,y Elemente der Menge ist. Sorry schon spät und ich hatte heute einige Mathe Aufgaben vor mir verwirrt

22.09.2013, 22:01

Nobundo

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Also ich meinte das so: der Quotientenraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist ja eine Menge von Äquivalenzklassen. Dabei ist $\begin{eqnarray*} x\sim y\Leftrightarrow x-y\in m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , bzw $\begin{eqnarray*} y\in [x] \Leftrightarrow x=y+m\cdot z \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich dich jetzt richtig verstehe, möchtest du ja nun gerne wissen aus welchen Äquivalenzklassen der Raum besteht. Dafür habe ich dann vorgeschlagen zunächst zu Zeigen, dass man für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq x<m \end{eqnarray*}$ eine eigene Klasse "aufmachen" muss. Und anschließend dann zu sehen das man alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ in einer dieser Klassen unterbringen kann, damit hätte man dann alle gefunden.

Hoffe das macht Sinn, gruß Nobundo.

22.09.2013, 23:06

south.look

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Ich sitze gerade im Vorkurs und kann mit den Begriffen "Quotientenraum" und "Äquivalenzklasse" noch nicht viel anfangen. Im Prinzip muss ich beweisen,dass die Menge aller Restklassen modulo m eine Mächtigkeit von m hat und zwar angefangen von $\begin{eqnarray*} [0]_m, [1]_m, [2]_m \end{eqnarray*}$ bis zu $\begin{eqnarray*} [m-1]_m \end{eqnarray*}$ .

Zumindest habe ich die Aufgabenstellung so verstanden. Inwiefern, dass jetzt eine Aussage schon wiedergibt, kann ich nicht sagen.

23.09.2013, 00:51

Nobundo

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Ok ich glaube dann meinen wir schon dasselbe. Du willst also wissen wieviele Restklassen es gibt (Mächtigkeit ist hier die Anzahl der Restklassen), dann kann ich meinen Lösungsvorschlag auch so formulieren:

Schritt 1: Zeige das alle $\begin{eqnarray*} 0< x <m \end{eqnarray*}$ eine eigene Restklasse repräsentieren. Das sind dann schonmal $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ an der Zahl.

Schritt2: Zeige das es keine weiteren Restklassen gibt.

Dir ist zunächst mal klar, dass mit Schritt 1 und 2 zusammen die gewünschte Aussage bewiesen ist?
Mal etwas detaillierte wie ich mir das vorstellen würde:

zu 1: $\begin{eqnarray*} x,y \in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sind genau dann in der gleichen Restklasse, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} x-y\in m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , das heisst einfach nur es gibt ein $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x=y+m\cdot z \end{eqnarray*}$ . Mit dieser Vorraussetzung lässt sich der Schritt 1 einfach zeigen, denn du musst jetzt nur noch folgern wieso es für zwei Elemente $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ , die biede zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ liegen, ein solches $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nicht geben kann.

zu 2: Um diese Behauptung zu beweisen musst du einfach für ein beliebig gewähltes $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein passendes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ finden, so dass gilt: $\begin{eqnarray*} x=y+m\cdot z \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} 0< x<m \end{eqnarray*}$ Schau dir hierzu einfach mal an wo du landest, wenn du von diesem beliebigen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ein paar mal subtrahierst (oder auch zu addierst). Beachte dabei, dass du bei dieser Operation die Restklasse nicht verlässt, denn es gilt ja schließlich $\begin{eqnarray*} y-\left(y-z\cdot m\right)=m\cdot z\in m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

23.09.2013, 00:56

Nobundo

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Zitat:

Original von Nobundo
Ok ich glaube dann meinen wir schon dasselbe. Du willst also wissen wieviele Restklassen es gibt (Mächtigkeit ist hier die Anzahl der Restklassen), dann kann ich meinen Lösungsvorschlag auch so formulieren:

Schritt 1: Zeige das alle $\begin{eqnarray*} 0\leq x <m \end{eqnarray*}$ eine eigene Restklasse repräsentieren. Das sind dann schonmal $\begin{eqnarray*} m-1 \end{eqnarray*}$ an der Zahl.

Schritt2: Zeige das es keine weiteren Restklassen gibt.

Dir ist zunächst mal klar, dass mit Schritt 1 und 2 zusammen die gewünschte Aussage bewiesen ist?
Mal etwas detaillierte wie ich mir das vorstellen würde:

zu 1: $\begin{eqnarray*} x,y \in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sind genau dann in der gleichen Restklasse, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} x-y\in m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , das heisst einfach nur es gibt ein $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x=y+m\cdot z \end{eqnarray*}$ . Mit dieser Vorraussetzung lässt sich der Schritt 1 einfach zeigen, denn du musst jetzt nur noch folgern wieso es für zwei Elemente $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ , die biede zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ liegen, ein solches $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nicht geben kann. Edit: natürlich für $\begin{eqnarray*} x\neq y \end{eqnarray*}$ smile

zu 2: Um diese Behauptung zu beweisen musst du einfach für ein beliebig gewähltes $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein passendes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ finden, so dass gilt: $\begin{eqnarray*} x=y+m\cdot z \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} 0\leq x<m \end{eqnarray*}$ Schau dir hierzu einfach mal an wo du landest, wenn du von diesem beliebigen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ein paar mal subtrahierst (oder auch zu addierst). Beachte dabei, dass du bei dieser Operation die Restklasse nicht verlässt, denn es gilt ja schließlich $\begin{eqnarray*} y-\left(y-z\cdot m\right)=m\cdot z\in m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Sorry, verklickt oder so, kann gelöscht werden.

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