Identifikation von ungeraden Zahlen und geraden Zahlen

22.09.2013, 19:53

Nighel123

Identifikation von ungeraden Zahlen und geraden Zahlen

Moin,

Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z = \left\{ n |n=2 z , \forall z \in \mathbb Z \right\} \cup \left\{ n | n=2z+1, \forall z \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ ,
also $\begin{eqnarray*} \left\{ n |n=2 z , \forall z \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ die Menge aller geraden ganzen Zahlen ist, und $\begin{eqnarray*} \left\{ n | n=2z+1, \forall z \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$
die Menge aller ungerade Zahlen ist.

Dazu bin ich wie folgt vorgegangen

Ich habe gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \left\{ n |n=2 z , \forall z \in \mathbb N \right\} \cup \left\{ n | n=2z+1, \forall z \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ eine induktive Menge ist, also gleich $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist.

und dann habe ich gezeigt, dass von jedem Element aus $\begin{eqnarray*} \left\{ n |n=2 z , \forall z \in \mathbb N \right\} \cup \left\{ n | n=2z+1, \forall z \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$

auch das additive Inverse in $\begin{eqnarray*} \left\{ n |n=2 z , \forall z \in \mathbb Z \right\} \cup \left\{ n | n=2z+1, \forall z \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ liegt.

Also $\begin{eqnarray*} \left\{ n |n=2 z , \forall z \in \mathbb Z \right\} \cup \left\{ n | n=2z+1, \forall z \in \mathbb Z \right\} = \mathbb Z \end{eqnarray*}$

kann man das auch schneller zeigen?

Zum genauen Beweis von mir siehe Anhang.

25.09.2013, 17:17

Che Netzer

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Vielleicht hättest du schon früher eine Antwort bekommen, wenn du denn gesagt hättest, was du nun vorhast.
Möchtest du zeigen, dass jede gerade ganze Zahl von der Form $\begin{eqnarray*} 2z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ und jede ungerade ganze Zahl von der Form $\begin{eqnarray*} 2z+1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist?

26.09.2013, 09:14

Leopold

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RE: Identifikation von ungeraden Zahlen und geraden Zahlen
"Gut gemeint ist das Gegenteil von gut", sagt eine bekannte Weisheit. Man sollte den Formalismus in der Mengenschreibweise (und nicht nur dort) nicht zu weit treiben. Viele haben einen Spaß daran, sich in der mathematischen Formelsprache zu bewegen. Ich gebe zu, daß mir dieses Vergnügen auch nicht fremd ist. Das hat etwas mit Ästhetik zu tun, mit Freude am Herumhantieren mit Symbolen, ganz wie Kinder ihre Legoklötzchen bewegen.
Trotzdem darf das mathematische Formelspiel nicht so weit gehen, daß etwas Falsches dabei herauskommt. Quantoren etwa haben in der formalen Logik und Mengenlehre eine ganz bestimmte Bedeutung. Man kann sie auch nicht einfach irgendwo im Ausdruck anbringen, sondern hat sich an die Regeln der formalen Sprache zu halten.
Nun bewegen wir uns hier nicht in der axiomatischen, sondern der naiven Mengenlehre. Dort ist man nicht so streng und geht etwas freizügiger mit solchen Zeichen um. Das darf aber nicht mit Beliebigkeit verwechselt werden. Ich empfehle, lieber eine Formulierung in der deutsch-mathematischen Umgangssprache mehr und einen Quantor weniger zu verwenden.
Ich nehme dich jetzt einmal wörtlich:

Zitat:

Original von Nighel123
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z = \left\{ n |n=2 z , \forall z \in \mathbb Z \right\} \cup \left\{ n | n=2z+1, \forall z \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

Welche Menge wird denn da als erstes Vereinigungsglied definiert? Sie besteht aus gewissen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , die dann näher beschrieben werden. Was soll für ein solches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelten? Es soll das Doppelte eines $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ sein. Aber nicht nur eines $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , sondern aller $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Das sagt jedenfalls der unbeholfen nachgeschobene All-Quantor. Wir suchen also eine Zahl, die zugleich das Doppelte von $\begin{eqnarray*} 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3 \end{eqnarray*}$ und so weiter ist. Ein kurzes Nachdenken zeigt, daß es solche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wohl nicht viele gibt. Oder um es auf den Punkt zu bringen: gar keines. Du definierst mithin mit deinen Zeichen nichts anderes als die leere Menge.

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