Eine abelsche Gruppe

23.09.2013, 17:19

Karlo987

Eine abelsche Gruppe

Meine Frage:
Hey ihr Lieben,

sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche Gruppe dessen Ordnung nicht durch 3 teilbar ist. Außerdem sei die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi \colon G \longrightarrow G \quad g \longmapsto g^3 \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus.
Man soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch ist.

Meine Ideen:
Ich sollte zuerst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist (war auch kein Problem).
Außerdem soll ich vorher noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} gh^2=h^2g \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g,h \in G \end{eqnarray*}$ , was ich nicht hinbekomme.

Da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist gilt ja
$\begin{eqnarray*} g^3h^6=gh^2gh^2gh^2 \end{eqnarray*}$ .
Weiter weiß ich jedoch nicht wie ich das hinkriegen soll.
Vielen Dank schon einmal für jeden Tip

23.09.2013, 18:05

micha_L

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RE: Eine abelsche Gruppe
Hallo,

führt nicht $\begin{eqnarray*} (xy)^3=x^3y^3 \end{eqnarray*}$ nahezu direkt dazu, dass auch $\begin{eqnarray*} (xy)^2=x^2y^2 \end{eqnarray*}$ gilt?!

Damit wäre das Quadrieren selbst ein Homomorphismus, woraus (bekanntlich?) das Kommutativgesetz folgt.

Mfg Michael

23.09.2013, 18:20

Karlo987

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Die zweite Gleichung seh ich jetzt nicht gleich. Jedoch folgt doch aus

$\begin{eqnarray*} x^3y^3=(xy)^3=xyxyxy \end{eqnarray*}$ erstmal doch nur $\begin{eqnarray*} x^2y^2=(yx)^2 \end{eqnarray*}$ .

Wie bist du denn daruf gekommen?
Dank dir

23.09.2013, 18:38

micha_L

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Hallo,

oh, sehe ich jetzt auch.
Tut mir leid, war etwas voreilig.

Ich versuche dann mal, die Gleichung $\begin{eqnarray*} gh^2=h^2g \end{eqnarray*}$ zu beweisen.

Mfg Michael

23.09.2013, 19:33

Reksilat

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Ihr habt jetzt also $\begin{eqnarray*} g^2h^2=(hg)^2 \end{eqnarray*}$
Nun guckt Euch die Gleichung $\begin{eqnarray*} h^3g^3=hghghg \end{eqnarray*}$ an.
Damit folgt $\begin{eqnarray*} h^2g^3=g^3h^2 \end{eqnarray*}$ .

Da ja die Bijektivität von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ schon gezeigt wurde, folgt damit die Zwischenbehauptung.

...

Gruß
Reksilat

23.09.2013, 20:04

micha_L

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Hallo,

man bilde einen Satz mit den Substantiven Baum, Wald und Augen!
Mann ...

Mfg Michael