Klassifikation partieller Differentialgleichungen

23.09.2013, 21:30

Pennie

Klassifikation partieller Differentialgleichungen

Meine Frage:
Aufgabenstellung siehe Foto.

Finde im Internet nur für mich unverständliche Definitionen.

Man spricht von einer linearen partiellen Differentialgleichung, falls die unbekannte Funktion sowie alle auftretenden Ableitungen linear vorkommen. Dies bedeutet, dass die Koeffizientenfunktionen vor der unbekannten Funktion bzw. ihrer Ableitungen nur von den Veränderlichen abhängen (und nicht von der Funktion selbst).

Nichtlineare partielle Differentialgleichungen kann man durch Ausdifferenzieren immer in eine quasilineare Form überführen.

In Wikipedia gibt es noch die Begriffe semilinear und quasilinear.

Hoffe ihr könnt mir helfen.

Lösungen stehen mir zur Verfügung.

Grüße:-)

Meine Ideen:
Keine Idee.

23.09.2013, 22:10

Che Netzer

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Ist eine DGL für eine Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ gegeben, so heißt diese linear, wenn (etwas unformal) folgendes gilt:
Die " $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Terme", d.h. $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u_x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u_{xxy} \end{eqnarray*}$ etc., stehen ohne Potenz oder irgendeine andere nichtlineare Funktion in der DGL und werden mit keinem anderen " $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Term" multipliziert.
Siehst du also in einem Summanden ein $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ (inklusive Ableitungen davon), so darf höchstens noch ein Faktor (ohne weiteres $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ ) vor diesem " $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Term" stehen.

Das kannst du jetzt mal mit der gefundenen Definition abgleichen und dir überlegen, wie du die Semilinearität übersetzt.
Wer immer euch die Aufgabe gestellt hat, wird euch doch aber auch Definitionen angeboten haben, oder?

23.09.2013, 22:29

Pennie

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Ah ok.
Ja wir haben im Skript die Definition stehen mit der ich aber nicht klar komme.

Ist denn Semilinearität = halb Linear?

Semilinearität:
Man spricht von einer semilinearen Gleichung, falls alle Ableitungen von höchster Ordnung linear auftreten, dies aber nicht mehr für die Funktion und Ableitungen niedriger Ordnung gilt.

23.09.2013, 22:36

Che Netzer

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Zitat:

Original von Pennie
Ist denn Semilinearität = halb Linear?

Ja, "semilinear" ist aber die üblichere Bezeichnung. Wahrscheinlich wollte man euch nicht mit einem neuen Fremdwort quälen Augenzwinkern

Hast du meine Erklärung denn verstanden?
Vielleicht mal ein paar einfachere Beispiele, an denen du üben kannst:
$\begin{align*} u^2&=0\\u+u_x&=0\\u_x+u_y&=1\\u_xu_{xx}&=0\\4u&=0\\u^4&=0\\xu_{xy}&=0\\\mathrm e^u&=0\\u&=x^2\\x^2u&=0 \end{align*}$
Kannst du sagen, welche davon linear sind? (semilineare sind nicht dabei)
Danach kannst du dich ja an deinen eigentlichen Aufgaben versuchen.

23.09.2013, 22:43

Pennie

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Von Oben:

1.Linear
2.Linear
3.Linear
4.Nicht linear
5.Linear?
6.Linear?
7.Linear
8.Linear?
9.Linear?
10.Linear ?

Bei den Fragezeichen:
Das ist eigentlich keine partielle DGL oder?

23.09.2013, 22:55

Che Netzer

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Zitat:

1.Linear
2.Linear $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$
3.Linear $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$
4.Nicht linear $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$
5.Linear? $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$
6.Linear?
7.Linear $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$
8.Linear?
9.Linear? $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$
10.Linear ? $\begin{eqnarray*} \checkmark \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du zwar beachtet, dass bei den " $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Termen" keine weiteren $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ s in Faktoren auftreten können. Aber diese " $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Terme dürfen wie gesagt auch nicht in Potenzen oder in (nichtlinearen) Funktionen auftreten. Die "DGL"s 1, 6 und 8 sind daher auch nicht linear. In 1. und 6. [was ja fast das gleiche ist; ist mir gar nicht aufgefallen] ist die Potenz vorhanden – eine höhere als die erste Potenz, die ja nicht mehr linear ist. In 8. wird sogar die Exponentialfunktion angewandt, die ebenfalls nicht linear ist.

Und ja, viele der Beispiele sind keine sinnvollen Differentialgleichungen, geschweige denn partielle, aber hauptsache ist jetzt, dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ darin vorkommt Big Laugh

Hier mal die nächste Beispielserie (diesmal treten sogar überall Ableitungen auf Augenzwinkern

):
$\begin{align*} \sqrt{u_x+1}&=1\\\frac1{u_x}&=u\\\sin(x)u_y&=0\\\sin(u_{xy})&=0\\(u_x+1)(u-1)&=0\\xyu_{xy}&=\ln(x+y) \end{align*}$
Ich habe wieder semi-/halblineare Gleichungen vermieden. Wenn du die hier bearbeitet hast, kannst du direkt an die eigentlichen Aufgaben gehen Freude

23.09.2013, 23:03

Pennie

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Die dürfte linear sein.

Die Linke Seite der Gleichung ist ja linear und das ln(x+y) spielt bei der
Klassifikation keine Rolle? Big Laugh

Zu meinen Aufgaben habe ich zu der d) und f) eine Frage.

Laut Lösung ist d) Nicht linear was ich auch verstehe wegen ux*uyy
f) ist aber halb linear.

23.09.2013, 23:05

Che Netzer

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Zitat:

Original von Pennie
Die Linke Seite der Gleichung ist ja linear und das ln(x+y) spielt bei der
Klassifikation keine Rolle? Big Laugh

Ja, die letzte genannte DGL ist linear.

Zitat:

Laut Lösung ist d) Nicht linear was ich auch verstehe wegen ux*uyy
f) ist aber halb linear.

Genau. Mit der Lösung zu f) hast du Probleme? Bei der "Halblinearität" wird das, was ich dir an Anforderungen genannt habe, nur an diejenigen " $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ -Terme" gestellt, die die Ableitungen höchster (in f zweiter) Ordnung enthalten, nicht an alle.

23.09.2013, 23:08

Pennie

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Danke!

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