Geometrische/algebraische Vielfachheit

23.09.2013, 22:23

BufuBufuBufu

Geometrische/algebraische Vielfachheit

Edit (mY+): Schreibe bitte keine Romane in die Überschrift und vor allem keine Fragen. Die gehören in den Thementext. Titel modifiziert.

Meine Frage:
Hallo liebe Community!

Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen!

Es geht um geometrische/algebraische Vielfachheit.
Letztens bin ich in meinem Mathe-Skript über folgende Formel gestoßen:
$\begin{eqnarray*} 1\leq \gamma \leq \alpha \leq n \end{eqnarray*}$

Nun habe ich mir gedacht... wie kann (theoretisch, laut Formel) die geometrische Vielfachheit gleich n sein?

Ist das dann eigentlich möglich oder habe ich einen Denkfehler?

Ich bin euch sehr dankbar für Eure Ideen und Ratschläge!

Zu dieser Frage konnte ich leider im Forum nichts finden!

Meine Ideen:
Nehmen wir an, ich befinde mich im R^3x3

Nun kann ja der Eigenwert die algebraische Vielfachheit 3 besitzen.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes wäre ja in diesem Fall = 2

Im Falle der Einheitsmatrix im R^3x3 würde ja die algebraische Vielfachheit 3 ergeben, die geometrische aber 0 (wegen der Nullmatrix)

Wie erhalte ich aber die geometrische Vielfachheit 3? (wäre ja theoretisch möglich!)

23.09.2013, 22:29

Che Netzer

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RE: Wie kann die geometrische Vielfachheit einer Matrix (theoretisch) genauso groß sein wie n ?

Zitat:

Original von BufuBufuBufu
Letztens bin ich in meinem Mathe-Skript über folgende Formel gestoßen:
$\begin{eqnarray*} 1\leq \gamma \leq \alpha \leq n \end{eqnarray*}$

So ganz allein ist das unbrauchbar. Erst, nachdem man erraten hat, wofür $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stehen, ergibt die Formel Sinn.

Zitat:

Die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes wäre ja in diesem Fall = 2

Auch wenn es hier nur einen Eigenwert gibt, solltest du immer sagen, welchen du meinst, wenn du von der geometrischen Vielfachheit eines Eigenwertes sprichst.
Hier wäre die geometrische Vielfachheit des einzigen Eigenwertes $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ allerdings Eins und nicht Zwei.

Zitat:

Im Falle der Einheitsmatrix im R^3x3 würde ja die algebraische Vielfachheit 3 ergeben, die geometrische aber 0 (wegen der Nullmatrix)

Du musst wieder sagen, was du mit "die algebraische Vielfachheit" meinst: "... des Eigenwertes Eins". Auch ist "wegen der Nullmatrix" kein Argument.
Und in diesem Fall ist besagte geometrische Vielfachheit tatsächlich Drei (insbesodere muss sie stets positiv sein).

Wie würdest du die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes denn definieren? Darin scheint dein Problem zu liegen.

Das einfachste Beispiel ergäbe sich ja für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

23.09.2013, 22:30

Helferlein

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Du scheinst ein kleines Verständnisproblem zu haben.

algebraische Vielfachheit = Vielfachheit der Nullstelle im charakteristischen Poylnom
geometrische Vielfachheit = Dimension des Eigenraums

Im Fall der Einheitsmatrix ist also algebraische=geometrische Vielfachheit = n

Edit: Zuschlag geht an Che

24.09.2013, 17:45

BufuBufuBufu

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Vielen Dank für Eure Antworten, Eure Erklärungen haben mir wirklich geholfen!

Und Entschuldigung wenn ich bei dem Beitrag wichtige Informationen ausgelassen bzw. vergessen habe, gestern Abend war ich nicht mehr ganz wach Big Laugh

Außerdem ist das einer meiner ersten Posts überhaupt gewesen auf Forenseiten Augenzwinkern

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