konservatives Kraftfeld, konstante Energie

Neue Frage »

24.09.2013, 03:55

Skolja

Auf diesen Beitrag antworten »

konservatives Kraftfeld, konstante Energie

Ich sitze grad an dieser Aufgabe und komme irgendwie nicht weiter traurig

Und langsam bin ich am verzweifeln Hilfe

Wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte...

Also los geht's

Sei $\begin{eqnarray*} F:= \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ eine diff.bare Abbildung und $\begin{eqnarray*} V:= \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sodass: $\begin{eqnarray*} F(x) = -grad V(x) \end{eqnarray*}$

weiterhin $\begin{eqnarray*} \gamma (t) := \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ zweimal diff.bar mit :

$\begin{eqnarray*} \gamma (x)''= F(\gamma (t)) \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} E(t)= \frac12 <\gamma (t)',\gamma (t)'> + V(\gamma (t))= const. \end{eqnarray*}$

so also muss ja dann die Ableitung von $\begin{eqnarray*} E(t) \end{eqnarray*}$ Null sein also:

$\begin{eqnarray*} E'(t)= <\gamma (t)'', \gamma (t)'>+ \frac{\partial}{\partial t} V(\gamma (t))=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <\gamma (t)'', \gamma (t)'>= -\frac{\partial}{\partial t} V(\gamma (t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < F(\gamma (t), \gamma (t)'> =- \frac{\partial}{\partial t} V(\gamma (t)) \end{eqnarray*}$

So und da weiß ich nicht so wirklich wie ich weiter machen soll.

Ich hab das alles jetzt folgendermaßen umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \gamma (t) = \begin{pmatrix} x_1(t) \\ . \\ . \\ . \\ x_n(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(\gamma(t)) = V(x_1(t), ..., x_n(t)) \end{eqnarray*}$

Damit habe ich auf der rechten Seite:

$\begin{eqnarray*} - \frac{\partial}{\partial t} V(x_1(t), ..., x_n(t)) \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite:

$\begin{eqnarray*} F (x) = - grad V = \begin{pmatrix} \frac{\partial V}{\partial x_1} \\ . \\ . \\ . \\ \frac{\partial V}{\partial x_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(\gamma (t) ) = \begin{pmatrix}- (\frac{\partial}{\partial x_1}V) (\gamma (t)) \\ . \\ . \\ . \\ -(\frac{\partial }{\partial x_n} V) (\gamma (t)) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < F(\gamma (t)), \gamma' (t)> =< \begin{pmatrix}- (\frac{\partial}{\partial x_1}V) (\gamma (t)) \\ . \\ . \\ . \\ -(\frac{\partial }{\partial x_n} V) (\gamma (t)) \end{pmatrix}, \gamma' (t)> = - {\partial_{ x_1}}V (\gamma (t)) \cdot x_1'(t)-...- \partial_{x_n}V (\gamma (t))\cdot x_n'(t) \end{eqnarray*}$

So und damit hab ich dann insgesammt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{\partial}{\partial t} V(x_1(t), ..., x_n(t)) = - {\partial_{ x_1}}V (\gamma (t)) \cdot x_1'(t)-...- \partial_{x_n}V (\gamma (t))\cdot x_n'(t) \end{eqnarray*}$

Und damit komme ich nicht weiter unglücklich

macht das überhaupt Sinn soweit oder ist der Ansatz komplett falsch verwirrt

Falls noch jemand durch sieht würde ich mich freuen, wenn man mir weiter hilft smile

Liebe Grüße! Tanzen

24.09.2013, 09:44

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: konservatives Kraftfeld, konstante Energie

Zitat:

Original von Skolja
$\begin{eqnarray*} < F(\gamma (t), \gamma (t)'> =- \frac{\partial}{\partial t} V(\gamma (t)) \end{eqnarray*}$

Jetzt benutzt du auf der rechten Seite die Kettenregel (da steht sogar die totale Ableitung, nicht nur die partielle).

Ableitungsstriche setzt man übrigens immer direkt hinter die Funktion, die man ableitet. Es hieße also $\begin{eqnarray*} \gamma'(t) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \gamma(t)' \end{eqnarray*}$ . Mit \dot\gamma kannst du auch einen Punkt setzen: $\begin{eqnarray*} \dot\gamma(t) \end{eqnarray*}$ .
Und hinter den Doppelpunkt, den man zwischen Funktionsname und Abbildungseigenschaften setzt (den man übrigens mit \colon setzt), gehört auch kein Gleichheitszeichen: $\begin{eqnarray*} F\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ oder zumindest $\begin{eqnarray*} F:\mathbb R^n\to\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
Und die spitzen Klammern für das Skalarprodukt schließlich erhältst du mit \langle und \rangle: $\begin{eqnarray*} \langle\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\rangle \end{eqnarray*}$ .

24.09.2013, 18:59

Skolja

Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar totale Ableitung...

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} V(\gamma (t)) = \partial_{x_1} V(\gamma (t)) \dot x_1+..+ \partial_{x_n} V(\gamma (t)) \dot x_n = -\langle F(\gamma (t)), \dot \gamma (t) \rangle \end{eqnarray*}$

Und damit ist die Aufgabe ja gelöst smile

Vielen Dank auch für die Latexnachhilfe smile

Neue Frage »

Antworten »

konservatives Kraftfeld, konstante Energie

Verwandte Themen